МОДЕЛЬ ОФОРМЛЕНИЯ СЦЕНАРИЯ ТВОРЧЕСКОГО УРОКА

Общие требования:

Полное название образовательного учреждения: Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение «Средняя общеобразовательная школа № 90», Томская область, город Северск

Предмет: геометрия

Тема: Многогранники и тела вращения.

Класс: 11

Время реализации занятия: 2 урока (90 мин.)

Цель урока: повторение изучаемого материала.

Задачи урока:

Образовательные: контроль за уровнем усвоения материала.

Развивающие: формирование навыков продуктивного делового взаимодействия и принятия групповых решений.

Воспитательные: воспитание ответственности, коллективизма, уважительное отношение к мнению партнёра.

Тип урока: обобщающий урок

Форма урока:

• Урок – аукцион ;

Оборудование: переносная доска, карточки с вопросами, игровые денежки.

План проведения урока:

Ход урока:

Урок – аукцион является одной из форм проверки знаний, умений учащихся по данной большой теме.

Правила игры.

Класс делится на три команды, выбирается жюри. Все команды перед началом аукциона получают в «банке» (роль банкира играет один из членов жюри или учитель) первоначальный капитал в виде краткосрочного кредита под 30% годовых в размере 1000 денежек (или других денежных знаков) Приложение №1.

Это означает, что в конце игры все взявшие кредит должны вернуть в банк 1300д. (1000д. – сам кредит и 300д. составляют 30% от суммы кредита);

Расписываясь в банковской книге «Выдачи кредитом» за его получение, капитан команды одновременно с деньгами получает номер участника аукциона и лицевой счёт команды Приложение №2 . Только имёя номер, команда может претендовать на тот или иной лот (вопрос, правильный ответ на который приносит команде определенный доход, выставленный на аукционе).

Игра состоит из двух или более туров.

Перед проведением очередного тура аукционист (ведущий аукцион преподаватель) объявляет характер предлагаемых лотов и порядок проведения торгов.

Первый Тур « Конкретный вопрос».

Тур проходит по следующим правилам:

• задается конкретный вопрос по теме «Многогранники, тела вращения»;
• право на ответ может купить любая команда, имеющая номер, заплатив небольшую сумму в ходе открытых торгов;
• первоначальная стартовая цена каждого лота (права на ответ) 100д., а торговый (аукционный) шаг стоит 50д., т. е. торг ведется суммами, кратными 50д. Например, одна из команд называет свою цену за конкретный вопрос, предложенный аукционистом, - 150д. Если какая- то другая команда также хочет приобрести этот лот (право на ответ), то она называет цену – 200д. (250д. 300д. и т. д.), т. е. каждый раз цена увеличивается на 50д. (или сразу на 100д., или на 200д. и т. п.);
• называя свою цену, капитан команды должен поднять и показать аукционисту номер, который он получил перед началом аукциона;
• команда, купившая очередной лот, платит в банк сумму, за которую она купила этот выставленный лот;
• за правильный ответ на купленный вопрос команда получает денежное вознаграждение от 500 до 1500д., в зависимости от сложности вопроса;
• если участники команды неверно ответили на вопрос, они платят в банк штраф в размере 200д., и лот снимается с торгов и может быть выставлен в конце первого тура для повторной продажи.

Аукционист отвечает на вопросы участников, и открываются торги.

1.1 Чему равен угол между плоскостью основания прямого цилиндра и плоскостью, проходящей через образующую цилиндра? Стартовая цена 100д. Вознаграждение 500д. Кто дает большую цену?

1.2 Равны ли друг другу углы между образующими конуса и плоскостью основания? Стартовая цена 100д. Вознаграждение 500д.

[Равны, т.к. осевое сечение

конуса равнобедренный треугольник]

1.3 Космонавт сообщил на базу, что обнаружил странный космический объект. Это геометрически правильное твердое тело, которое выглядит одинаково, какой бы гранью ни повернулось. Так было до тех пор, пока космонавт до него не дотронулся. После чего три грани космического тела пульсируют красными огнями, три - голубями, остальные шесть - зелеными. Ученые на базе до сих по пытаются определить, что это за огни: Однако теперь они знают форму всех граней космического объекта. А вы знаете? Вознаграждение 1500д.

[Не важно, какого цвета огни, - красного, зеленого или голубого.

Объект представляет собой геометрическое тело с 12-ю гранями.

Значит, оно может быть только декаэдром (двенадцатигранником). Каждая его грань представляет собой правильный пятиугольник.]

Могут ли вершины прямоугольного треугольника с катетами 4см и см лежать на сфере радиуса см? Вознаграждение 1000д.

[Нет]

1.4 Круглое бревно весит 30кг. Сколько весит бревно, которое вдвое толще, но вдвое короче? Вознаграждение 1500д.

[От увеличения вдвое объем круглого бревна увеличивается

вчетверо; от укорочения же вдвое объем бревна уменьшается

всег о в два раза. Поэтому толстое короткое бревно должно

быть вдвое тяжелее длинного тонкого, т. е; весит 60 кг.]

1.5 Какая из двух банок, изображенных на рис. 1, вместительнее - широкая, или втрое более высокая, но вдвое более узкая? Вознаграждение 1500 р.

[Высокая банка менее вместительна. Это легко проверить. Площадь основания широкой банки в 2 2, т. е. в четыре раза больше, чем узкой; высота же ее всего в три раза меньше. Значит, объем широкой банки в раза больше, чем узкой. Если содержимое высокой банки перелить в широкую, заполнится лишь ее объема.]

1.6 Чему равны углы между отрезками, проведенными на гранях куба (рис. 2)? Вознаграждение 1000д.

[ 60° (рис. 3 , а); 120°, (рис. 3, б).]

1.7 Двое заспорили о содержимом бочки. Один спорщик говорил, что воды в бочке более, чем наполовину, а другой утверждал, что менее.

Как убедиться, кто прав, не употребляя ни палки, ни веревки, ни вообще какого-либо приспособления для измерения? Вознаграждение 1500д.

[Если бы вода в бочке была налита ровно до половины, то, наклонив бочку так, чтобы уровень воды пришелся как раз у края бочки, мы увидели бы, что высшая точка два находится также на уровне воды. Это ясно из того, что плоскость, проведенная через диаметрально противоположные точки верхней и нижней окружности бочки, делит, ее на две равные части. Если вода налита менее чем до половины, то при таком же наклоне бочки должен выступать из воды больший или меньший сегмент два. Наконец, если воды в бочке более половины, то при наклоне верхняя часть дна окажется под водой.]

1.8 Как найти вместимость объем стакана с помощью весов? Вознаграждение 1000д.

[Пусть масса стакана с водой а без воды ,

тогда где - плотность; для воды .]

1.9 «Сюрприз». Команда, купившая этот лот, получает карточку, в которой написано: «Вы имеете право на приобретение по первоначальной стартовой цене одного из лотов второго тура аукциона или получить в банке премию в размере 500д.».

1.10 Вычислите приближенно объем мяча, если в вашем распоряжении нитка и измерительная линейка. Вознаграждение 1500д.

[Пусть D - диаметр мяча, l - длина наибольшей

Окружности на поверхности мяча, найденная

с помощью нитки и линейки, тогда

1.11 С помощью мензурки определите радиус вмещающегося в нее шара. Вознаграждение 1500д.

[С помощью мензурки находим V - объем шара, а его

радиус вычисляем по формуле .]

1.12 Для тренировки смекалки представьте себе такое вынужденное положение: необходимо, пользуясь только масштабной линейкой, определить объем бутылки (с круглым, квадратным или прямоугольным дном), которая частично наполнена жидкостью. Дно бутылки предполагается плоским. Выливать или доливать жидкость не разрешается. Вознаграждение 1500д.

[Так как дно бутылки по условию имеет форму круга или квадрата, или прямоугольника, то его площадь легко можно определить при помощи одной только масштабной линейки. Обозначим площадь дна через S. Измерим высоту h 1 , жидкости в бутылке. Тогда объем той части бутылки, которую занимает жидкость, равен Sh 1 , (рис.б). Опрокидываем бутылку вверх дном и измеряем высоту h 2 , ее части от уровня жидкости до дна бутылки. Объем этой части бутылки равен Sh 2 . Остальную часть бутылки занимает жидкость, объем которой уже определен - он равен Sh 1 . Отсюда следует, что объем всей бутылки равен ]

Третий тур. Закрытый лот «Неизвестный вопрос».

В этом туре команды покупают закрытый лот, не зная, какой вопрос будет в этом лоте. В остальном правила проведения аукциона остаются прежними, лишь цена за правильный ответ на купленный в лоте вопрос увеличивается и составляет от 1500д. до 3000д. в зависимости от сложности вопроса. Вопрос формулируется лишь после того, как какая-либо команда купит лот.

«Неизвестные вопросы»:

1. Стартовая цена 100д., аукционный шаг 50д. Вопрос. Сформулируйте определение цилиндра.

1. Денежное вознаграждение за правильный ответ 1500д. Задание. Сформулируйте определение конуса.

1. Денежное вознаграждение за правильный ответ 1500д. Первоначальная стартовая цена 100д. Вопрос. Что представляет собой сечение цилиндра плоскостью, параллельной его образующей?

1. Денежное вознаграждение за правильный ответ 1500д. Вопрос. На какие многогранники рассёкает треугольную призму плоскость, проходящая через вершину верхнего основания и противоположную ей сторону нижнего основания? [На две пирамиды: треугольную и четырехугольную (рис. 5).

1. «Сюрприз». Команда, купившая этот лот получает карточку, в которой написано: «Вы совершили удачную сделку, ваши наличные деньги увеличиваются на 50% ».

1. Денежное вознаграждение за правильный ответ 1500д. Вопрос. В результате вращения какой фигуры может быть получен усеченный конус?

1. Задание. Сформулируйте определение призмы.

1. Задание. Перечислите свойства сечения пирамиды плоскостью, параллельной основанию.

1. Денежное вознаграждение за правильный ответ 3000д. Вопрос. Назовите все виды призм. В чем состоят их различия?

1. Денежное вознаграждение за правильный ответ 2500д. Задание. Сформулируйте определения пирамиды и усеченной пирамиды.

1. Денежное вознаграждение за правильный ответ? Вопрос. Что представляет собой сечение конуса плоскостью, проходящей через его вершину?

1. Денежное вознаграждение за правильный ответ 1500д. Вопрос. Могут ли все грани треугольной пирамиды быть прямоугольными треугольниками?

1. Денежное вознаграждение за правильный ответ 1500д. Вопрос. Из каких тел состоит тело , полученное вращением равнобедренной трапецией вокруг большего основания? [Полученное тело состоит из двух равных конусов и цилиндра].

1. Денежное вознаграждение за правильный ответ 1500д. Вопрос. Существует ли четырёхугольная пирамида, две противоположные грани которой перпендикулярны основанию пирамиды?

1. Денежное вознаграждение за правильный ответ 2000д. Вопрос. Сформулируйте определение шара, и сферы.

В конце игры аукционист просит всех участников подсчитать сумму наличных денег, вернуть взятый в банке кредит и 30 % годовых за пользование им (т. е. 1300д.). Победителем игры считается команда, у которой на руках осталось больше всего денег.

Все учащиеся выигравшей команды получают отличные оценки; отличные оценки выставляются также наиболее активным учащимся других команд, всем остальным учащимся оценка не выставляется.

Примечания.

Вопросы, сформулированные для двух туров аукциона можно заменить на более сложные и требующими развернутых ответов, или более простыми и доступными.

Количество вопросов в каждом туре можно увеличить или уменьшить в зависимости от времени, которым располагает учитель или от интереса учеников.

Игру-аукцион можно использовать также при изучении практически любого учебного предмета. Для этого нужно лишь продумать четкие и конкретные вопросы по уже пройденному материалу и распределить их по двум турам аукциона.

Дополнения.

Все команды, участвующие в аукционе, заводят свои лицевые счета. Приложение №2.

В графе «Приход» команды фиксируют все денежные поступления, в графе «Расход» указывают все выплаты, а в графе «Остаток» - оставшиеся на данный момент денежные средства.

Первая запись, которую делает в лицевом счёте каждая команда: в графе «Приход» фиксируется полученный в банке кредит (1000д.)

Например, члены команды №1 купили в первом туре вопрос 2, указав наибольшую сумму 350д. Значит, сразу же после покупки капитан команды (или какой-либо ее участник) в лицевом счете своей команды делает запись и вычисляет остаток денежных средств:

Если команда №1 правильно ответила На купленный вопрос, то она получает денежное вознаграждение 500д. (в соответствии с правилами первого тура аукциона) и делает третью запись в графе «Приход»:

Такие же лицевые счета находятся у члена жюри (счет той команды, работу которой он оценивает).

Таким образом, ведя постоянный учет, команда в любой момент игры видит реальный остаток своих денежных средств. Это удобно и для преподавателя, если возникает необходимости проверить кредитоспособность команды.

Если у какой-либо команды закончились денежные средства, капитан может с разрешения преподавателя получить в банке дополнительный кредит (не более 1000д.), но уже под 50 % годовых.

Список использованной литературы:

1. Кордемский Б А. Удивительный мир чисел. - М., Просвещение, 1986.
   

   Куб, шар, пирамида, цилиндр, конус - геометрические тела. Среди них выделяют многогранники. Многогранником называют геометрическое тело, поверхность которого состоит из конечного числа многоугольников. Каждый из этих многоугольников называется гранью многогранника, стороны и вершины этих многоугольников - соответственно ребрами и вершинами многогранника.

   Двугранные углы между соседними гранями, т.е. гранями, име­ющими общую сторону - ребро многогранника - являются так­же и двугранными умами многогранника. Углы многоугольников - граней выпуклого многоугольника - являются плоскими умами многогранника. Кроме плоских и двугранных углов у выпуклого многогранника имеются еще и многогранные углы. Эти углы образу­ют грани, имеющие общую вершину.

   Среди многогранников различают призмы и пирамиды.

   Призма - это многогранник, поверхность которого состоит из двух равных многоугольников и параллелограммов, имеющих об­щие стороны с каждым из оснований.

   Два равных многоугольника называются основаниями ггризмьг, а параллелограммы - ее боковыми гранями. Боковые грани образуют боковую поверхность призмы. Ребра, не лежащие в основаниях, называются боковыми ребрами призмы.

   Призму называют п-угольной, если ее основаниями являются я-угольники. На рис. 24.6 изображена четырехугольная призма АВСDА"В"С"D".

   Призму называют прямой, если ее боковыми гранями являются прямоугольники (рис. 24.7).

   Призму называют правильной , если она прямая, а ее основа­ния - правильные многоугольники.

   Четырехугольную призму называют параллелепипедом , если ее основания - параллелограммы.

   Параллелепипед называют прямоугольным, если все его грани - прямоугольники.

   Диагональ параллелепипеда - это отрезок, соединяющий его противоположные вершины. У параллелепипеда четыре диаго­нали.

   Доказано, что диагонали параллелепи­педа пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам. Диагонали прямо­угольного параллелепипеда равны.

   Пирамида - это многогранник, по­верхность которого состоит из много­угольника - основания пирамиды, и треугольников, имеющих общую верши­ну, называемых боковыми гранями пи­рамиды. Общая вершина этих треуголь­ников называется вершиной пирамиды, ребра, выходящие из вер­шины, - боковыми ребрами пирамиды.

   Перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на основа­ние, а также длина этого перпендикуляра называется высотой пи­рамиды.

   Простейшая пирамида - треугольная или тетраэдр (рис. 24.8). Особенность треугольной пирамиды состоит в том, что любую грань можно рассматривать как основание.

   Пирамиду называют правильной, если в основании ее лежит правильный многоугольник, а все боковые ребра равны между собой.

   Заметим, что следует различать правильный тетраэдр (т.е. тетра­эдр, у которого все ребра равны между собой) и правильную тре­угольную пирамиду (в ее основании лежит правильный треуголь­ник, а боковые ребра равны между собой, но их длина может от­личаться от длины стороны треугольника, который является ос­нованием призмы).

   Различают выпуюше и невыпуклые многогранники. Определить вы­пуклый многогранник можно, если воспользоваться понятием вы­пуклого геометрического тела: многогранник называют выпуклым. если он является выпуклой фигурой, т.е. вместе с любыми двумя своими точками целиком содержит и соединяющий их отрезок.

   Можно определить выпуклый многогранник иначе: многогран­ник называют выпуклым, если он полностью лежит по одну сторо­ну от каждого из ограничивающих его многоугольников.

   Данные определения равносильны. Доказательство этого факта не приво­дим.

   Все многогранники, которые до сих пор рассматривались, были выпуклыми (куб, параллелепипед, призма, пирамида и др.). Многогранник, изображенный на рис. 24.9, выпуклым не является.

   Доказано, что в выпуклом многогран­нике все грани являются выпуклыми многоугольниками.

   Рассмотрим несколько выпуклых многогранников (таблица 24.1)

   Из этой таблицы следует, что для всех рассмотренных выпук­лых многогранников имеет место равенство В - Р + Г = 2. Оказа­лось, что оно справедливо и для любого выпуклого многогранни­ка. Впервые это свойство было доказано Л.Эйлером и получило название теоремы Эйлера.

   Выпуклый многогранник называют правильным, если его гра­нями являются равные правильные многоугольники и в каждой вершине сходится одинаковое число граней.

   Используя свойство выпуклого многогранного угла, можно до­казать, что различных видов правильных многогранников существу­ет не более пяти.

   Действительно, если фан и многогранника - правильные тре­угольники, то в одной вершине их может сходиться 3, 4 и 5, так как 60" 3 < 360°, 60° - 4 < 360°, 60° 5 < 360°, но 60° 6 = 360°.

   Если в каждой вершине многофанника сходится три правиль­ных треугольника, то получаем правшш/ый тетраэдр, что в пере­воде с феческого означает «четырехгранник» (рис. 24.10, а).

   Если в каждой вершине многогранника сходится четыре пра­вильных треугольника, то получаем октаэдр (рис. 24.10, в). Его поверхность состоит из восьми правильных треугольников.

   Если в каждой вершине многогранника сходится пято правиль­ных треугольников, то получаем икосаэдр (рис. 24.10, г). Его поверх­ность состоит из двадцати правильных треугольников.

   Если грани многофанника - квадраты, то в одной вершине их может сходиться только три, так как 90° 3 < 360°, но 90° 4 = 360°. Этому условию удовлетворяет только куб. Куб имеет шесть фаней и поэтому называется также гексаэдром (рис. 24.10, б).

   Если граани многофанника - правильные пятиугольники, то в одной вершине их может сходиться только фи, так как 108° 3 < 360°, пятиугольники и в каждой вершине сходится три грани, называется додекаэдром (рис. 24.10, д). Его поверхность состоит из двенадцати правильных пятиугольников.

   Шестиугольными и более грани многогранника не могут быть, так как даже для шестиугольника 120° 3 = 360°.

   В геометрии доказано, что в трехмерном евклидовом простран­стве существует ровно пять различных видов правильных много­гранников’.

   Чтобы изготовить модель многогранника, нужно сделать его развертку (точнее развертку его поверхности).

   Развертка многогранника - это фигура на плоскости, которая получается, если поверхность многогранника разрезать но некото рым ребрам и развернуть ее так, чтобы все многоугольники, вхо­дящие в эту поверхность, лежали в одной плоскости.

   Отметим, что многогранник может иметь несколько различных разверток в зависимости от того, какие ребра мы разрезали. На рисунке 24.11 показаны фиг"уры, которые являются различными развертками правильной четырехугольной пирамиды, т.е. пирами­ды, в основании которой лежит квадрат, а все боковые ребра рав­ны между собой.

   Чтобы фигура на плоскости была разверткой выпуклого много­гранника, она должна удовлетворять ряду требований, связанных с особенностями многогранника. Например, фигуры на рис. 24.12 не являются развертками правильной четырехугольной пирамиды: в фигуре, изображенной на рис. 24.12, а, в вершине М сходятся четыре грани, чего не может быть в правильной четырехугольной пирамиде; а в фигуре, изображенной на рис. 24.12, б, боковые ребра А В и ВС не равны.

   Вообще, развертку многогранника можно получить путем раз­резания его поверхности не только по ребрам. Пример такой раз­вертки куба приведен на рис. 24.13. Поэтому более точно развертку многогранника можно определить как плоский многоугольник, из которого может быть сделана поверхность этого многогранника без перекрытий.

   Тела вращения

   Телом вращения называют тело, полученное в результате вра­щения некоторой фигуры (обычно плоской) вокруг прямой. Эту прямую называют осью вращения.

   Цилиндр - эго тело, которое получается в результате вращения прямоугольника вокруг одной из его сторон. При этом указанная сто­рона является осью цилиндра. На рис. 24.14 изображен цилиндр с осью ОО’, полученный в результате вращения прямоугольника АА"О"О вокруг прямой ОО". Точки О и О" - центры оснований цилиндра.

   Цилиндр, который получается в результате вращения прямо­угольника вокруг одной из его сторон, называют прямым круго­вым цилиндром, так как его основаниями являются два равных круга, расположенных в параллельных плоскостях так, что отре­зок, соединяющий центры кругов, перпендикулярен этим плос­костям. Боковую поверхность цилиндра образуют отрезки, равные стороне прямоугольника, параллельной оси цилиндра.

   Разверткой боковой поверхности пря­мого кругового цилиндра, если ее раз­резать по образующей, является прямо­угольник, одна сторона которого равна длине образующей, а другая - длине ок­ружности основания.

   Конус - это тело, которое получает­ся в результате вращения прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов.

   При этом указанный катет неподвижен и называется осью конуса. На рис. 24.15 изображен конус с осью SO, получен­ный в результате вращения прямоуголь­ного треугольника SOA с прямым уг­лом О вокруг катета S0. Точку S называют вершиной конуса, ОА - радиусом его основания.

   Конус, который получается в результате вращения прямоуголь­ного треугольника вокруг одного из его катетов, называют пря­мым круговым конусом, гак как его основанием является круг, а вершина проектируется в центр этого круга. Боковую поверхность конуса образуют отрезки, равные гипотенузе треугольника, при вращении которого образуется конус.

   Если боковую поверхность конуса разрезать по образующей, то ее можно «развернуть» на плоскость. Разверткой боковой поверх­ности прямого кругового конуса является круговой сектор с ради­усом, равным длине образующей.

   При пересечении цилиндра, конуса или любого другого тела вращения плоскостью, содержагцей ось вращения, получается осевое сечение. Осевое сечение цилиндра - прямоугольник, осевое сече­ние конуса - равнобедренный треугольник.

   Шар - это тело, которое получается в результате вращения полукруг а вокруг его диаметра. На рис. 24.16 изображен шар, получен­ный в результате вращения полукруга вокруг диаметра АА". Точку О называют центром шара, а радиус круга является радиусом шара.

   Поверхность шара называют сферой. Сферу развернуть на плос­кость нельзя.

   Любое сечение шара плоскостью есть круг. Радиус сечения шара будет наибольшим, если плоскость проходит через центр шара. Поэтому сечение шара плоскостью, проходящей через центр шара, называют большим кругом шара, а окружность, его ограничиваю­щая, - большой окружностью.

   ИЗОБРАЖЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ТЕЛ НА ПЛОСКОСТИ

   В отличие от плоских фигур геометрические тела невозможно точно изобразить, например, на листе бумаги. Однако с помощью чертежей на плоскости можно получить достаточно наглядное изоб­ражение пространственных фигур. Для этого используются специ­альные способы изображения таких фигур на плоскости. Одним из них является параллельное проектирование.

   Пусть даны плоскость а и пересекающая се прямая а. Возьмем в пространстве произвольную точку Л", не принадлежащую пря­мой а, и проведем через X прямую а", параллельную прямой а (рис. 24.17). Прямая а" пересекает плоскость в некоторой точке X", которая называется параллельной проекцией точки X на плос­кость а.

   Если точка А"лежит на прямой а, то се параллельной проекци­ей X" является точка, в которой прямая а пересекает плоскость а.

   Если точка X принадлежит плоскости а, то точка X" совпадает с точкой X.

   Таким образом, если заданы плоскость а и пересекающая ее прямая а. то каждой точке X пространства можно поставить в соот­ветствие единственную точку А" - параллельную проекцию точки X на плоскость а (при проектировании параллельно прямой а). Плос­кость а называется плоскостью проекций. О прямой а говорят, что она залает направление проектирования - ггри замене прямой а любой другой параллельной ей прямой результат проектирования не изменится. Все прямые, параллельные прямой а, задаюз одно и то же направ­ление проектирования и называются вместе с прямой а проектирующими прямыми.

   Проекцией фигуры F называют мно­жество F‘ проекцией всех се точек. Ото­бражение, сопоставляющее каждой точ­ке X фигуры F "ее параллельную проек­цию - точку X" фигуры F", называется параллельным проектированием фигуры F (рис. 24.18).

   Параллельной проекцией реального предмета является его тень, падающая на плоскую поверхность при солнечном освещении, поскольку солнечные лучи можно считать параллельными.

   Параллельное проектирование обладает рядом свойств, знание которых необходимо при изображении геометрических тел на плоскости. Сформулируем основные, не приводя их доказательства.

   Теорема 24.1. При параллельном проектировании для прямых, не параллельных направлению проектирования, и для лежащих на них отрезков выполняются следующие свойства:

   1) проекция прямой есть прямая, а проекция отрезка - отрезок;

   2) проекции параллельных прямых параллельны или совпадают;

   3) отношение длин проекций отрезков, лежащих на одной прямой или на параллельных прямых, равно отношению длин самих отрезков.

   Из этой теоремы вытекает следствие: при параллельном про­ектировании середина отрезка проектируется в середину его про­екции.

   При изображении геометрических тел на плоскости необходи­мо следить за выполнением указанных свойств. В остальном оно может быть произвольным. Так, углы и отношения длин непарал­лельных отрезков могут изменяться произвольно, т.е., например, треугольник при параллельном проектировании изображается про­извольным треугольником. Но если треугольник равносторонний, то па проекции его медианы должны соединять вершину треуголь­ника с серединой противоположной стороны.

   И еще одно требование необходимо соблюдать при изображе­нии пространственных тел на плоскости - способствовать созда­нию верного представления о них.

   Изобразим, например, наклонную призму, основаниями кото­рой являются квадраты.

   Построим сначала нижнее основание призмы (можно начинать и с верхнего). По правилам параллельного проектирования огго изобразится произвольным параллелограммом АВСD (рис. 24.19, а). Так как ребра призмы параллельны, строим параллельные пря­мые, проходящие через вершины построенного параллелограмма и откладываем на них равные отрезки АА", ВВ’, СС", DD", длина которых произвольна. Соединив последовательно точки А", В", С", D", получим четырехугольник А"В"С"D", изображающий верхнее основание призмы. Нетрудно доказать, что А"В"С"D" - паралле­лограмм, равный параллелограмму АВСD и, следовательно, мы имеем изображение призмы, основаниями которой являются рав­ные квадраты, а остальные грани - параллелограммы.

   Если нужно изобразить прямую призму, основаниями которой являются квадраты, то показать, что боковые ребра этой призмы перпендикулярны основанию, можно так, как это сделано на рис. 24.19, б.

   Кроме тог о, чертеж на рис. 24.19, б можно считать изображени­ем правильной призмы, так как ее основанием является квадрат - правильный четырехугольник, а также - прямоугольным парал­лелепипедом, поскольку все его грани - прямоугольники.

   Выясним теперь, как изобразить на плоскости пирамиду.

   Чтобы изобразить правильную пирамиду, сначала чертят пра­вильный многоугольник, лежащий в основании, и его центр - точку О. Затем проводят вертикальный отрезок OS, изображаю­щий высоту пирамиды. Заметим, что вертикальность отрезка OS обеспечивает большую наглядность рисунка. И наконец, точку S соединяют со всеми вершинами основания.

   Изобразим, например, правильную пирамиду, основанием ко­торой является правильный шестиугольник.

   Чтобы верно изобразить при параллельном проектировании правильный шестиугольник, надо обратить внимание на следующее. Пусть АВСDЕF - правильный шестиугольник. Тогда ВСЕF - прямоугольник (рис. 24.20) и, значит, при параллельном проектировании он изобра­зится произвольным параллелограммом В"С"Е"F". Так как диагональ АD проходит через точку О - центр многоугольника АВСDЕF и параллельна отрезкам. ВС и ЕF и АО= ОD, то при параллельном проектировании она изобразится произвольным от­резком А"D", проходящим через точку О" параллельно В"С" и Е"F" и, кроме того, А"О" = О"D".

   Таким образом, последовательность построения основания ше­стиугольной пирамиды такова (рис. 24.21):

   § изображают произвольный параллелограмм В"С"Е"F" и его диагонали; отмечают точку их пересечения O";

   § через точку О" проводят прямую, параллельную В’С" (или Е"F’);

   § на построенной прямой выбирают произвольную точку А" и отмечают точку D" такую, что О"D" = А"О", и соединяют точку А" с точками В" и F ", а точку D" - с точками С" и Е".

   Чтобы завершить построение пирамиды, проводят вертикаль­ный отрезок ОS (его длина выбирается произвольно) и соединя­ют точку S со всеми вершинами основания.

   При параллельном проектировании шар изображается в виде круга того же радиуса. Чтобы сделать изображение шара более на­глядным, рисуют проекцию какой-нибудь большой окружности, плоскость которой не перпендикулярна плоскости проекции. Эта проекция будет эллипсом. Центр шара изобразится центром этого эллипса (рис. 24.22). Теперь можно найти соответствующие полюсы N и S при условии, что отрезок, их соединяющий, перпендикуля­рен плоскости экватора. Для этого через точку О проводим пря­мую, перпендикулярную АВ и отмечаем точку С - пересечение этой прямой с эллипсом; затем через точку С проводим касатель­ную к эллипсу, изображающему экватор. Доказано, что расстоя­ние СМ равно расстоянию от центра шара до каждого из полюсов. Поэтому, отложив отрезки ОN и OS, равные СМ, получим полю­сы N и S.

   Рассмотрим один из приемов построения эллипса (он основан на преобразовании плоскости, которое называется сжатием): строят окружность с диаметром и проводят хорды, перпендикулярные диаметру (рис. 24.23). Половину каждой из хорд делят пополам и полученные точки соединяют плавной кривой. Эта кривая - эл­липс, большой осью которого является отрезок АВ, а центром - точка О.

   Этот прием мЬжно использовать, изображая на плоскости пря­мой круговой цилиндр (рис. 24.24) и прямой круговой конус (рис. 24.25).

   Прямой круговой конус изображают так. Сначала строят эл­липс - основание, затем находят центр основания - точку О и перпендикулярно проводят отрезок OS, который изображает вы­соту конуса. Из точки S проводят к эллипсу касательные (это дела­ют «на глаз», прикладывая линейку) и выделяют отрезки SС и SD этих прямых от точки S до точек касания С и D. Заметим, что отрезок СD не совпадает с диаметром основания конуса.

   Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

   Сбор и использование персональной информации

   Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

   От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

   Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

   Какую персональную информацию мы собираем:

   • Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

   Как мы используем вашу персональную информацию:

   • Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
   • Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
   • Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
   • Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

   Раскрытие информации третьим лицам

   Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

   Исключения:

   • В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
   • В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

   Защита персональной информации

   Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

   Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

   Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

   Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

   Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

   Размещено на http://www.allbest.ru/

   Лекция 4 Многогранники и тела вращения

   • Содержание
   • 1. Призма и пирамида
   • 2. Построение правильных пирамид и призм
   • 3. Сечение прямоугольной трубы
   • 4. Построение сечения пирамиды
   • 5. Пересечение пирамиды линией и призмой
   • 6. Последовательность построения 2-х многогранников
   • 7. Построение сечения цилиндра
   • 8. Построение развертки цилиндра
   • 9. Возможные сечения конуса
   • 10. Построение сечения конуса и его развертки
   • 11. Построение сечения шара
   • 12. Построение сечений тора

   1. Призма и пирамида

   Призматическая поверхность неограниченной длины на чертеже может быть изображена проекциями фигуры, полученной при пересечении боковых граней призмы плоскостью, и проекциями ребер призмы. Пересекая призматическую поверхность двумя параллельными между собой плоскостями, получают основания призмы. На чертеже основания призмы удобно располагать параллельно плоскости проекций. Чертеж призмы с проекциями оснований А"В"С", А"В"С и D " E " F ", D " E " F " , параллельных плоскости р 1 , приведен на

   рис.1 (слева). Одноименные проекции ребер призмы параллельны между собой. пирамида призма многогранник конус

   Для изображения поверхности пирамиды на чертеже используют фигуру сечения боковых граней пирамиды плоскостью и точку из пересечения - вершину. На чертеже пирамиду задают проекциями ее основания, ребер и вершины, усеченную пирамиду - проекциями обоих оснований и ребер.

   Изображая пирамиду, удобно ее основание располагать параллельно плоскости проекций.

   На рис. 1 (справа) приведен чертеж неправильной треугольной пирамиды с проекциями А", А" вершины и основанием, проекции которого D " B " C " и D " B " C , лежащим в плоскости проекций р 1 .

   2. Построение правильных пирамид и призм

   Изображения призм и пирамид приведены на рис.2. На приведенных чертежах ребра проецируются в виде отрезков прямых или в виде точек. Например, фронтальные и профильные проекции боковых ребер призм и пирамид - отрезки прямых. Горизонтальные проекции тех же боковых ребер призм на рис. 2 а, б - точки. Профильные проекции ребер оснований призм - точки 2" (3""), (5""), 6"" на рис. 2 а, точка 1"", (3"") на рис. 2, б, в.

   Грани призм, пирамид, которые перпендикулярны плоскостям проекций, проецируются на них в виде отрезков прямых линии. Так, например, боковые грани призм (рис. 2 а, б) на горизонтальной проекции изображаются в виде отрезков прямых линий, образующих шестиугольник, в виде отрезков прямых линий проецируются на профильную плоскость проекций передняя и задняя грани призмы на рис. 2, а, задняя грань призмы и пирамиды на рис. 6.4, б, в.

   Основания изображенных тел проецируются в отрезок прямой линии на фронтальную и профильную плоскости проекций.

   Построение недостающих проекций точек на поверхности призм и пирамид по заданным фронтальным проекциям на рис. 2 показано стрелками и соответствующими координатами.

   Профильные проекции А "", С" построены с помощью координат у А и у С , определяемых по горизонтальным проекциям.

   Горизонтальная D " и профильная D "" проекции точки D на грани А -- 1 --2 пирамиды

   (рис. 2, в) построены с помощью 2"4", 2""4"" отрезка прямой на этой грани. Аналогично, с помощью профильной проекции 1""5"" отрезка на грани А --1--2 пирамиды (рис.2, г) построена профильная проекция F "".

   Горизонтальная проекция F " построена с помощью горизонтали той же грани, проходящей через проекцию 6" на проекции ребра А"1". Горизонтальная проекция Е" построена с помощью координаты Y Е определенной по профильной проекции Е"". В рассмотренных примерах координаты у А , у Е заданы относительно плоскостей д(д", д""), у С - относительно плоскости г (г", г""").

   3. Сечение прямоугольной трубы

   При пересечении призмы или пирамиды плоскостью в сечении получается плоская фигура, ограниченная линиями пересечения секущей плоскости с гранями призмы или пирамиды.

   Простейший пример конструирования детали пересечением исходной заготовки в виде прямоугольной трубы плоскостью приведен на рис. 3. В этом случае деталь - волновод изготавливают, отрезая часть заготовки по плоскости д(д").

   4. Построение сечения пирамиды

   Наклонная площадка ABCD образована срезом верхней части пирамиды фронтально проецирующей плоскостью з (з"). Фронтальные проекции А ", В", С", D" точек находятся на фронтальном следе з" плоскости, а фронтальная проекция площадки ABCD совпадает со следом з".Профильная А ""В"" С ""D"" и горизонтальная А "В" С "D" проекции площадки построены по проекциям указанных точек на проекциях соответствующих ребер.

   Часто требуется построить натуральный или истинный вид фигуры сечения тела плоскостью. На рис.4 для этой цели вверху слева применен способ перемены плоскостей проекций. В качестве дополнительной плоскости принята плоскость р 4 , параллельная плоскости з и перпендикулярная плоскости р 2 . Натуральный вид площадки - фигура сечения A IV B IV C IV D IV . Другой вариант построения натурального вида наклонной площадки ABCD показан на рис.4 справа внизу - A 0 B 0 C 0 D 0 . Для построения использованы новые координатные оси х 1 и у 1 лежащие в плоскости з. Ось х 1 параллельна плоскости р 2 , ось у 1 - перпендикулярна плоскости р 2 .

   Координаты по оси х 1 точек A 0 , B 0 , С 0 , D 0 равны координатам по оси х 1 фронтальных проекций А"", В", С", D" этих точек. Координаты х 1 точек С 0 , С" по оси х 1 равны нулю. Координаты у В, y D по оси у 1 точек В 0 , D 0 равны координатам по этой оси (параллельной оси у) горизонтальных проекций В", D". Координаты по оси у 1 точек А, С равны нулю. По указанным координатам на осях х 1 , у 1 строят натуральную величину А 0 В 0 C 0 D 0 наклонной площадки ABCD.

   5. Пересечение пирамиды линией и призмой

   Построение точек пересечения прямой с поверхностью многогранника сводится к построению линии пересечения многогранника проецирующей плоскостью, в которую заключают данную прямую. На рис. 5(слева) приведено построение проекций Е", Е" и F", F" точек пересечения прямой с проекциями M"N", M"N" с боковыми гранями пирамиды. Пирамида задана проекциями G", G" вершины и А"В"С",А"В"С основания. Прямая MN заключена во вспомогательную фронтальную проецирующую плоскость г(г"). Горизонтальные проекции Е" и F" искомых точек построены в пересечении проекции M"N" с горизонтальными проекциями 1", 3" и 2", 3" отрезков, по которым плоскость г пересекает боковые грани пирамиды. Фронтальные проекции Е" и F" определены по линиям связи.

   Изображение пересекающихся между собой в пространстве призмы А и пирамиды Б представлено на рис. 5(справа). Линия их пересечения проходит через точки 1, 3, 4, 6 пересечения ребер пирамиды с гранями призмы и точки 2, 5 пересечения ребра призмы

   с гранями пирамиды. В общем случае в пересечении многогранников получается пространственная замкнутая ломаная линия, которая в некоторых частных случаях может оказаться плоской. При построении линии пересечения многогранников применяют два способа и их комбинации.

   1. Строят точки пересечения ребер одного многогранника с гранями другого и Ребер второго с гранями первого. Через построенные точки в определенной последовательности проводят ломаную линию пересечения данных многогранников. При этом отрезки прямых проводят лишь через те построенные точки, которые лежат в одной и той же грани.

   2. Строят отрезки прямых, по которым грани одной поверхности пересекают грани другой. Эти отрезки являются звеньями ломаной линии пересечения многогранных поверхностей между собой.

   Таким образом, построение линии пересечения двух многогранников сводится или к построению линии пересечения двух плоскостей между собой, или к построению точки пересечения прямой с плоскостью

   6. Последовательность построения 2-х многогранников

   Рис. 6, а. Прежде чем приступить к построениям, анализируют взаимное положение многогранников и их расположение относительно плоскостей проекций. В данном случае очевидно, что многогранники могут пересекаться только по боковым граням. Ребра призмы и боковые ребра пирамиды параллельны плоскости р 2 , основания пирамиды параллельны плоскости р 1 . Нижняя грань призмы и ее основания перпендикулярны плоскости р 1 .

   Указанные особенности расположения призмы и пирамиды определяют и наиболее рациональный способ построения линии пересечения их поверхностей по точкам пересечения ребер призмы с гранями пирамиды и боковых ребер пирамиды с гранями призмы.

   Построения показаны на рис. 6, б. Рассмотрим их для левой части чертежа (от оси пирамиды). Проекции 1", 1", 2", 2", 3", 3" ,4", 4" точек пересечения ребер призмы с гранями пирамиды найдены путем проведения через них фронтальных плоскостей в (в"), б (б"), г (г"). Они пересекают левые боковые грани пирамиды по фронталям - прямым линиям, параллельным левому ребру пирамиды. Положение их фронтальных проекций определено по горизонтальным проекциям 21", 22", и 24" точек пересечения горизонтальных проекций в", б" и г" плоскостей в, б, г с горизонтальной проекцией основания пирамиды. В пересечении фронтальных проекций этих линий с фронтальными проекциями ребер призмы найдены фронтальные проекции 1", 2" и 4" точек пересечения ребер призмы с левыми гранями пирамиды. По ним построены горизонтальные проекции 1", 2", 4".

   Проекции 3", 3" точки пересечения ребер AD пирамиды с верхней задней гранью призмы найдены с помощью вспомогательной фронтальной плоскости з(з"), которая проведена через это ребро. Плоскость з пересекает грань призмы по прямой, параллельной ребрам призмы и проходящей через точку 23 на основании призмы. В пересечении фронтальных проекций этой прямой и ребра А" D" найдена фронтальная проекция 3" точки пересечения указанного ребра с задней верхней гранью призмы и на линии связи - горизонтальная проекция 3". С нижней гранью призмы, перпендикулярной плоскости р 2 , ребро AD пересекается в точке с фронтальной проекцией 5 ". В проекционной связи на проекции А" D" построена ее горизонтальная проекция 5".

   Таким образом, проекции точек пересечения всех ребер призмы с левыми гранями пирамиды - 1", 1", 2", 2", 4", 4" и ребра AD пирамиды с двумя гранями призмы - 3", 3" и 5", 5" построены. Соединяем проекции точек, принадлежащих одной грани, и получаем проекции 1" 2" 3" 4" 5" 1" , 1" 2" 3" 4" 5" 1" ломаной линии пересечения.

   Построение в правой части чертежа проекции 6" 7" 8" 9" 10" 6", 6" 7" 8" 9" 10" 6" линии пересечения аналогично. Порядок построения иллюстрируется стрелками.

   После построения проекций линий пересечения многогранников обводят проекции оставшихся частей ребер многогранников.

   Заметим, что переднее и заднее ребра пирамиды не пересекают поверхность призмы.

   7. Построение сечения циліндра

   Ось цилиндра и вся цилиндрическая поверхность перпендикулярны плоскости р 1 . Следовательно, все точки цилиндрической поверхности, в том числе и линия пересечения ее с плоскостью б(б"), проецируются на плоскость р 1 в окружность. На ней отмечают горизонтальные проекции точек 1", 2", 3", 4", 5", 6", 7", 8", 9" , 10", 11" и 12" эллипса, расположив их равномерно по окружности. В проекционной связи строят фронтальные проекции 1", 2", 3", 4", 5", 6", 7", 8", 9", 10", 11", 12" отмеченных точек на фронтальном следе б" секущей плоскости. Профильные проекции тех же точек строят по их горизонтальной и фронтальной проекциям на линиях связи.

   Профильная проекция линии пересечения цилиндра с секущей плоскостью - эллипс, большая ось 10""4"" которого в данном случае равна диаметру цилиндра, а малая 1"" 7"" -профильная проекция отрезка -- 1-- 7.

   Если расположить на рис.7 плоскость б под углом 45° к оси, то профильная проекция эллипса фигуры сечения будет окружность.

   Если острый угол между осью цилиндра и секущей плоскостью будет меньше 45°, то малая ось эллипса на профильной проекции станет равной диаметру цилиндра.

   Натуральный вид фигуры сечения цилиндра плоскостью б построен способом перемены плоскостей проекций на плоскости р 4, перпендикулярной плоскости р 2. Большая ось эллипса - отрезок 1 IV 7 IV = 1" 7", малая- отрезок 4 IV 10 IV =d

   8. Построение развертки цилиндра

   Построение развертки (рис.8). Полная развертка состоит из четырех частей: развертки боковой поверхности, ограниченной пятью отрезками прямой линии и кривой A 0 l 0 B 0 - синусоидой; натурального вида фигуры сечения; круга основания цилиндра; сегмента, полученного на верхнем основании.

   Полная развертка боковой поверхности цилиндра - прямоугольник с высотой, равной цилиндру, и длиной L = рd, где d - диаметр цилиндра. Для построения на развертке точек линии среза развертку основания цилиндра делят на такое же число частей, как и при построении проекций линии среза. Проводят через точки деления образующие и отмечают на них высоту до точек эллипса среза - точки 1 0 2 0 и 12 0 , 3 0 и 11 0 , 4 0 и 10 0 , 5 0 и 9 0 , 6 0 и 8 0 , 7 . Соединяют построенные точки плавной кривой - синусоидой. Натуральный вид фигуры среза цилиндра плоскостью выполнен ранее(1 IV 2 IV 3 IV …12 IV) и его по координатам строят на развертке.

   Построим на чертеже цилиндра проекции точки, указанной на разверстке точкой М 0 . Для этого отметим хорду l 2 между образующей, на которой расположена точка М 0 , и образующей точки 4. По хорде l 2 строим горизонтальную проекцию М" и по известной высоте ее расположения найдем ее фронтальную проекцию М".

   9. Возможные сечения конуса

   10. Построение сечения конуса и его развертки

   Развертка боковой поверхности прямого кругового конусапредставляет собой круговой сектор с углом ц = d/l Ч 180 ° при вершине, где d - диаметр основания, l - длина образующей конуса. Построение сектора (рис. 10 внизу) выполняют с разбивкой его на равные части соответственно разметке образующих на чертеже (см. рис. 10 конуса).

   Используя положение образующих на чертеже и на развертке находят положение точек на развертке при помощи натуральных величин отрезков от вершины до соответствующих точек линии пересечения на чертеже. При этом расстояния G 0 A 0 и G 0 B 0 соответствуют фронтальным проекциям G"А " С"В". Отрезки образующих от вершины до других точек проецируются на фронтальную плоскость проекций с искажениями. Поэтому их натуральную величину находят вращением вокруг оси конуса до положения, параллельного фронтальной плоскости проекций. Например, положение точки D 0 на развертке найдено при помощи отрезка G "D 1 " - натуральной величины образующей от вершины G до точки D точки E 0 , - при помощи отрезка G"Е 1 " (или G""E"").

   Полная развертка поверхности усеченного конуса состоит из трех частей: 1) развертки боковой поверхности, ограниченной дугой окружности радиуса l, кривой B 0 I 0 F 0 E 0 D 0 C 0 A 0 и симметричной ей; круга основания; 3) натурального вида фигуры сечения.

   На рис. 10 (вверху) показано построение фронтальной и горизонтальной проекций точки К по изображению К 0 этой точки на развертке (рис.10). Для построения проведена образующая G 0 13 0 через точку К 0 на развертке. С помощью отрезка l 1 построена горизонтальная проекция 13". Через нее проведены горизонтальная G" 13" и фронтальная G"13 " проекции образующей G - 13. Отрезок G 0 K 0 = G"K 1 " на проекции образующей G "7 ". Обратным вращением построена фронтальная проекция К" точки К на фронтальной проекции образующей G"13".Горизонтальная проекция К" построена с помощью линии связи.

   11. Построение сечения шара

   На рис. 11 показано построение проекций некоторых точек.

   Проекции С" и D " построены на горизонтальной проекции параллели радиуса 0"1", построенной с

   помощью проекции 1 ". Проекция С"" и D "" построены на профильной проекции окружности, проведенной на сфере через проекции C "(D ") так, что плоскость окружности параллельна плоскости проекций.

   Проекция Е" является точкой касания эллипса (горизонтальной проекции окружности среза) и экватора сферы. Она построена в проекционной связи на горизонтальной проекции экватора по фронтальной проекции Е".

   Горизонтальная проекция М" произвольной точки на линии среза построена с помощью параллели радиуса О"2" , фронтальная проекция которой проходит через проекции М "и 2 " . Проекция F "является точкой касания эллипса (профильной проекции окружности среза) и профильной проекции очерка сферы.

   Если плоскость, пересекающая сферу, является плоскостью общего положения, то задачу решают способом перемены плоскостей проекций. Дополнительную плоскость проекций выбирают так, чтобы обеспечить перпендикулярность ее и секущей плоскости. Это позволяет упростить построение линии пересечения.

   12. Построение сечений тора

   В примере на рис. 12 показано применение вспомогательных плоскостей г 1 (г 1 ") и г 2 (г 2 ") , перпендикулярных оси тора, для построения линии пересечения и натурального вида фигуры сечения поверхности тора плоскостью б (б""). Тор на рис.12 имеет два изображения - фронтальную проекцию и половину профильной проекции.

   Полуокружность радиуса R 2 (профильная проекция линии пересечения тора вспомогательной плоскостью г 2 ) касается проекции плоскости б(следа б""). Тем самым определяются профильная проекция 3"" и по ней фронтальная проекция 3"" одной из точек проекции искомой линии пересечения. Полуокружность радиуса R 1 - профильная проекция линии пересечения тора вспомогательной плоскостью г 1 . Она пересекает профильную проекцию плоскости б (след б"") в двух точках 5"" и 7"" - профильных проекциях точек линии пересечения. Проводя аналогичные построения, можно получить необходимое количество проекций точек для искомой линии пересечения. Используем найденные точки для построения натурального вида фигуры сечения. Фигура сечения тора плоскостью, параллельной его оси, имеет оси и центр симметрии. При ее построении использованы расстояния l 1 и l 2 на фронтальной проекции для нанесения точек 5 0 , 7 0 и 3 0 .

   Точки 6 0 , 8 0 и 4 0 построены как симметричные. Построенная кривая пересечения поверхности тора плоскостью выражается алгебраическим уравнением 4-го порядка.

   Кривые пересечения тора с плоскостью, параллельной оси, приведены на рис.12 внизу. Они имеют общее название - кривые Персея (Персей -- геометр Древней Греции). Это кривые четвертого порядка. Вид кривых зависит от величины расстояния от секущей плоскости до оси тора.

   Размещено на Allbest.ru

   Подобные документы

   Построение разверток поверхностей. Параллелепипед и его развертка. Чертеж развертки поверхности правильной пирамиды, прямого кругового конуса, прямого кругового цилиндра, правильной призмы, прямого эллиптического цилиндра. Способ нормального сечения.

   контрольная работа , добавлен 11.11.2014
   

   Пространственные тела и их сечения; точка, прямая, плоскость и векторы. Методы построения, задание и построение сечений пространственных тел, исследование свойств сечения. Способы визуализации трехмерного пространства. Создание компьютерного приложения.

   курсовая работа , добавлен 15.07.2010
   

   Изучение однородных выпуклых и однородных невыпуклых многогранников. Определение правильных многогранников. Двойственность куба и октаэдра. Теорема Эйлера. Тела Архимеда. Получение тел Кеплера-Пуансо. Многогранники в геологии, ювелирном деле, архитектуре.

   презентация , добавлен 27.10.2013
   

   Различные виды правильных и полуправильных многогранников, их основные свойства. Многогранные поверхности, многогранники, топологические, простейшие и правильные многогранники. Грани, ребра и вершины поверхности многогранника. Пирамиды и призмы.

   курсовая работа , добавлен 21.08.2013
   

   Фигуры вращения правильных многогранников, использование их теории. Виды поверхностей в фигурах вращения. Теорема о пересечении гиперболической и цилиндрической поверхностей вращения. Классификация задач на вращение многогранников и вычисление объемов.

   реферат , добавлен 25.09.2009
   

   Понятие многогранника и его элементы с точки зрения топологии. Определение площади и боковой поверхности призмы, параллелепипеда, пирамиды. Понятие правильных, полуправильных, звездчатых многогранников. Многогранники в разных областях культуры и науки.

   курсовая работа , добавлен 02.04.2012
   

   Куб (гексаэдр) – представитель правильных выпуклых многогранников, его объем, сечения, площадь и свойства. Характеристика типов правильных многогранников в XIII книге "Начал" Евклида и идеалистической картине мира Платона. Отношение к кубу в философии.

   презентация , добавлен 03.11.2011
   

   Определение пирамиды как геометрической фигуры, ее виды. Проекция треугольной пирамиды. Основные свойства полной и усеченной пирамиды, нахождение площади и объема, плоские сечения. Пример построения сечения пирамиды с плоскостью по заданным параметрам.

   практическая работа , добавлен 16.06.2009
   

   Определение цилиндра (кругового прямого и наклонного), прямого и усечённого конуса, шара и сферы. Основные формулы по расчету геометрических размеров фигур вращения: радиуса, площади боковой и полной поверхности. Объем шара по Архимеду. Уравнение сферы.

   презентация , добавлен 18.04.2013
   

   Понятие и историческая справка о конусе, характеристика его элементов. Особенности образования конуса и виды конических сечений. Построение сферы Данделена и ее параметры. Применение свойств конических сечений. Расчеты площадей поверхностей конуса.

   МКОУ «3наменская средняя общеобразовательная школа» Щигровского р-на Курской области

   Урок - экскурсия

   «Многогранники. Тела вращения»

   (урок геометрии в 11 классе)

   Подготовила: учитель математики Букреева Т. А.

   ТЕМА УРОКА: Повторение по теме «Многогранники. Тела вращения».

   Цель урока: 1. Повторить изученное.и обобщить знания учащихся.

   2. Развитие познавательного интереса учащихся к предмету, расширение кругозора, межпредметных связей.

   З. Воспитание познавательной активности учащихся.

   План урока:

   1. Вступительное слово учителя.

   2. Экскурсия «Мир многогранников».

   З. Экспериментальные опыты.

   4. Практическая работа.

   5. Решение задач.

   7. Итог урока.

   Оборудование: Модели многогранников, тел вращения, картина художника Шишкина «Корабельная роща», картина Сальвадора Дали «Тайная вечерня», таблицы с формулами, рисунки с изображениями многогранников, портреты ученых, сосуды с водой для проведения опытов, измерительные сосуды, компьютер, проектор.

   Ход урока:

   1 . Вступительное слово учителя

   Ребята, сегодня мы проводим очередной урок повторения курса геометрии, который пройдет в необычной форме. Тема урока повторения «Многогранники. Тела вращения» Мы уже повторяли с вами основные понятия, касающиеся данной темы, решали задачи на применение различных формул. Но я думаю, что на сегодняшнем уроке вы узнаете еще немало интересных фактов, (рассказать план урока). А сейчас давайте немного вспомним.

   Что называется многогранником?

   Приведите примеры многогранников?

   Что называется телом вращения?

   Приведите примеры тел вращения.

   Что является основными элементами любого многогранника? (вершины, ребра, грани).

   Каким общим характерным свойством обладают все выпуклые многогранники?

   (Сумма числа вершин и числа граней каждого многогранника на два больше числа его ребер, т.е. В+Г – Р = 2). Это предложение известно, как «теорема Эйлера».

   Ребята, а сейчас я предлагаю вам совершить небольшую экскурсию в «Мир многогранников и тел вращения». А помогут нам в этом группа экскурсоводов. Пожалуйста, ребята. Вам слово.

   "ТЕОРЕМА ЭЙЛЕРА" о многогранниках

   В+Г-Р=2

   2. Экскурсия.

   1 экскурсовод . Всем хорошо известны такие тела как пирамида, конус, призма, цилиндр, шар и другие. А задумывались ли вы над тем, откуда произошло название этих фигур. Посмотрите, пожалуйста, на картину известного художника Шишкина «Корабельная роща», на которой изображены сосны. А сейчас обратите внимание на следующий рисунок (слайд №2). Здесь вы видите изображение конуса. А в руках у меня модель конуса. Вы скажите, а какая же связь между этой картиной и данным телом. Оказывается, самая непосредственная. На картине изображены сосны, а модель, которую я держу, называется конус, что в переводе с греческого языка означает «сосновая шишка». И, действительно, посмотрите, конус похож на шишку. эту «шишку» по-гречески называют «конос». Поэтому и тела такой формы получили название конуса.

   А вообще, до Фалеса в Греции геометрией никто не занимался, поэтому у геометрических фигур не было названий. Греки стали называть фигуры словами, обозначавшими окружающие их предметы похожей формы. Например, для прокатки белья женщины применяли скалку, которую по-гречески называли «каландер», что в переводе означает «цилиндр». Поэтому все вытянутые тела с округлым сечением получили название цилиндра. Тело, изображенное на следующем рисунке, напоминает нам египетские пирамиды, поэтому такие тела и назвали пирамидами.

   При этом в Египте основания пирамид были четырехугольные, а греки изучали и четырехугольные, и даже шестиугольные пирамиды.

   А откуда получила свое имя «сфера?». По-гречески так называли мяч, в который играли дети (слайд №3).

   2 экскурсовод. А сейчас обратите внимание на следующую группу многогранников (слайд №4): тетраэдр, куб, икосаэдр, октаэдр, додекаэдр. Как вы знаете, это правильные многогранники, которые также были известны ещё в Древней Греции и им посвящена 13 книга знаменитых «Начал» Евклида.

   Учение о правильных многогранниках является венцом его «Начал». Сна­чала Евклид устанавливает существование этих многогранников, а затем до­казывает. В 18 последнем предложении 13 книги, что кроме упомянутых пяти тел, кет других правильных многогранников.

   Но, оказывается, правильными многогранниками занимался и Архимед (слайд №5), однако его работы до нас не дошли. Архимеду принадлежит открытие 13 так называемых полуправильных многогранников, (архимедовых тел), каждый из которых ограничен не одноименными правильными многоугольниками и в котором равны многогранные углы и одноименные многоугольники, причем в каждой вершине сходится одно и тоже число одинаковых граней в одинаковом порядке. Число граней этих тел содержится между 8 и 92.

   Древние греки специально изучали правильные многогранники, так как считали что формы этих тел присущи элементам первооснов бытия (слайд №6): а именно, огню – тетраэдр, земле – гексаэдр (куб), воздуху – октаэдр, воде – икосаэдр или говорили еще так; что эти четыре многогранника олицетворяли четыре стихии: огонь, землю, воду и воздух, А форму пятого многогранника, по мнению древних, имела вся Вселенная, то есть додекаэдр символизировал все мироздание.

   И не зря, на репродукции картины Сальвадора Даля «Тайная вечерня» Христос со своими учениками изображены сидящими на фоне огромного прозрачного додекаэдра (слайд№7).

   Заметили и то, что многие формы многогранников придумал не сам человек, их создала природа в виде кристаллов. Кристаллы – природные многогранники. Например, горный хрусталь или кварц. Напоминает отточенный с двух сторон карандаш, т.е форму шестиугольной призмы, на основание которой поставлены шестиугольные пирамиды. Исландский шпат – имеет форму косого параллелепипеда.

   Пирит (или сернистый колчедан) чаще всего встречается в виде октаэдра, иногда куба или даже усеченного октаэдра.

   В начале прошлого столетия французский математик и механик Л. Пуансо (1777-1859) (слайд №8), геометрические работы которого относятся к «звездчатым многогранникам» открыл существование правильных невыпуклых многогранников. Стали известны 4 типа таких фигур. В 1812г. О. Коши доказал, что других правильных звездчатых многогранников не существует (слайд №9).

   3 экскурсовод . А сейчас поговорим о формулах и об ученных, благодаря которым они появились. Мы изучили множество формул для вычисления объемов многогранников и круговых тел, для вычисления площадей их поверхностей. Но задумывались ли вы когда-нибудь над таким вопросом, а как давно появились эти формулы и кто первым их открыл? Оказывается, еще давно до нашей эры формулы объемов многих тел (параллелепипеда, призмы, цилиндра) были известны.

   Позднее, благодаря трудам древнегреческих ученых Демокрита, Евдокса и Архимеда были открыты формулы для вычисления объемов пирамид, конуса, шара и других тел. Невозможно рассказать о вкладах каждого ученого, но нельзя не остановиться на одном из них – ученом и изобретателе Архимеде, который решил множество практических задач по математике и физике. За всю свою жизнь Архимед сделал так много, что обо всем не расскажешь. Он впервые решил много трудных задач по геометрии: нашел правила вычисления площадей и объемов различных тел. Среди всех задач была и такая «Найти отношение объёма шара, вставленного (вписанного) в цилиндр, к объему цилиндра».

   Архимед определил, что объем вписанного цилиндра равен 2/3 объема цилиндра, а поверхность шара равна 2/3 поверхности цилиндра. Этому предложению Архимед придавал исключительное значение. Предание гласит, что Архимед высказал своим друзьям пожелание, чтобы после его смерти на его могильном холме вырезали чертеж к этой задаче, И еще об одном интересном факте я хочу рассказать. Архимед жил в небольшом городе Сиракузы, на острове Сицилия. Когда ему было около 70-ти лет, в 212 году до начала нашего летосчисления, его родной город осадили войска могущественного Рима и потребовали сдачи. Сиракузцы решили защищаться. Одним из руководителей обороны стал Архимед, под чьим руководством Сиракузцы почти год отбивались от многочисленных римских войск. Пользуясь своими знаниями о геометрии, Архимед, как говорят предания, построил громадные зеркала и с их помощью сжег римские корабли, а римские воины, увидев из-за крепостной стены веревку или бревно, с ужасом обращались в бегство с криком, что вот Архимед ещё выдумал новую машину на их погибель. Но римляне все - таки ворвались в город и перебили почти всех жителей. Среди погибших был Архимед. Предания говорят, что когда римский солдат уже замахнулся на Архимеда мечом, ученый крикнул «Не трогай мои чертежи». Желание Архимеда сбылось. На надгробном камне могилы Архимеда в Сиракузах изображен цилиндр с вписанным в него шаром (слайд №10). Именно по этому чертежу 200 лет спустя нашли могилу ученого. Это символ открытия формул объема шара и площади сферы. Памяти Архимеда посвящено множество стихотворений. Послушайте одно из них. (Стихотворение).

   ПАМЯТИ АРХИМЕДА

   Далеко от нашего Союза

   И до нас за очень много лет

   В трудный год родные Сиракузы

   Защищал ученый Архимед.

   Многие орудья обороны

   Были сконструированы им,

   Долго бился город непреклонный,

   Мудростью ученого храним.

   Но законы воинского счастья

   До сих пор никем не учтены,

   И втекают вражеские части

   В темные пробоины стены.

   Замыслом неведомым охвачен,

   Он не знал, что в городе враги,

   И в раздумье на земле горячей

   Выводил какие-то круги.

   Он чертил задумчивый, не гордый,

   Позабыв текущие дела, ­

   И внезапно непонятной хордой

   Тень копья чертеж пересекла.

   Но убийц спокойствием пугая,

   Он, не унижаясь, не дрожа,

   Руку протянул, оберегая

   Не себя, а знаки чертежа.

   Он в глаза солдатом глянул смело:

   «Убивайте, римляне - враги!

   Убивайте, раз такое дело,

   Но не наступайте на круги!

   Я хотел бы так пером трудиться,

   Родине, отдав себя вполне,

   Чтоб на поле боя иль в больнице

   За себя не страшно было мне.

   Чтобы у меня хватило духа

   Вымолвить погибели своей:

   «Лично - убивай меня, старуха,

   Но на строчки наступать не смей!»

   3. Эксперементальные опыты

   Учитель: Ребята, я думаю, мы совершили благодаря экскурсоводам, интересную историю в далекое прошлое. Если кого-то заинтересовала биография Архимеда, более подробно вы сможете прочитать на страницах стенгазеты «Математика и жизнь» обратиться к литературе, которая имеется в библиотеке. (Выставка).

   А сейчас давайте с вами посетим лабораторию, где группа исследователей занималась экспериментальным доказательством некоторых формул, связанных с многогранниками и телами вращения. Пожалуйста, ребята, вам слово.

   1 ученик. В результате проделанной нами исследовательской pa6oты, мы смогли с помощью опытов доказать справедливость некоторых формул. Сейчас мы вам продемонстрируем это.

   Опыт №1. (объем пирамиды)

   С помощью этого опыта убедимся в том, что объем пирамиды равен 1/3 объема призмы. Для этого возьмем два сосуда: один – имеющий форму призмы, другой – пирамиды. Пирамида и призма имеют равные высоты (h) проведенные к основанию, и равные площади оснований. Сосуд – пирамиду наполнили водой, затем перельем воду из сосуда – пирамиды в сосуд – призму. Видим, что емкость сосуда – пирамиды в три раза меньше емкости сосуда-призмы, т. е V пир = 1/3V пр.

   Итак, убедились, что объем пирамиды равен 1/3 объема призмы.

   Опыт №2 . (Свойство пирамид, имеющих равновеликие основания и равные высоты)

   Мы знаем такое утверждение, что две (треугольные) пирамиды с равными площадями оснований и равными высотами равновелики, т.е. имеют равные объемы.

   Убедимся в этом с помощью следующего опыта.

   Опыт.

   В сосуд, имеющий узкую отводную трубку, нальем воды так, чтобы избыток её вытек через отверстие. Подставив под отверстие измерительный стакан, в сосуд погружаем одну из пирамид. Узнав при помощи измерительного стакана, объем воды, вытесненной пирамидой, одновременно узнаем и объем самой пирамиды. Проделав опыт с другой пирамидой, видим, что если пирамиды имеют равновеликие основания и равные высоты, то их объемы равны.

   1 пирамида – четырехугольная, в основании которой квадрат со стороной 4 см, т.е. площадь основания равна 16 см.

   2 пирамида – четырехугольная, в основании прямоугольник со сторонами 2 и 8 см.

   (объем тела, погруженного в жидкость, равен объему вытесненной телом жидкости).

   Опыт №3 . (площадь поверхности сферы)

   Невозможно найти площадь поверхности сферы таким же образом, как находят площадь поверхности многогранника, т.е. с помощью её развертки в плоскость, поскольку никакую сферу нельзя развернуть в плоскость. Но можно использовать следующий опыт.

   Возьмем модель полу-шара и закрепим в него два гвоздя: один в центре большого круга, другой - в вершине полу-шара. Прикрепим конец нити к гвоздику, находящемуся в вершине полу-шара и покроем нитью поверхность полу-шара, складывая её спиралью. Затем также покроем основание полу-шара – большой круг. Измерив длины использованных нитей, видим, что длина нити, затраченной на покрытии основания, т. е круга радиусом, приблизительно в 2 раза меньше длины нити, покрывающей поверхности полу-шара.

   Отсюда вывод: площадь поверхности полу-шара равна 2, а площадь по­верхности шара 4. Итак, площадь сферы вычисляется по формуле S = 4πR 2 .

   Учитель: Описанный опыт – один из древнейших. С его помощью люди узнали, что площадь поверхности шара в 4 раза больше площади его большого круга.

   Вывод: Опытное обоснование теоретических фактов рассматривается как средство осуществления связи преподавания геометрии с практикой.

   4. Практическая работа.

   А сейчас я вам предлагаю небольшую практическую работу.

   Задание. У вас на столах находятся различные геометрические тела. Выберите себе любую фигуру, выполните необходимые измерения и вычислите объем данного тела, используя соответствующую формулу. (Рассказать, как вычисляли объем).

   5.Решение задач из занимательной геометрии.

   Задачи вам предложит следующая группа ребят. (слайд №11)

   Задача №1

   Две правильные призмы поспорили о том,

   В какой из них побольше содержится объем.

   Одна сказала: «Если все факторы учесть,-

   Ведь я в два раза выше и граней целых шесть,-

   То нечего и спорить, победа тут за мной...»

   Другая отвечала: «Не торопись, постой!

   Хоть граней пять имею и ростом не крупна,

   Но в основание больше в 2 раза сторона».

   До вечера поспорив, ни с чем домой ушли.

   Кто прав был в этом споре А ну, определи?

   (Решение задачи №1)

   Вывод: Чтобы сравнить, нужно найти объемы.

   Задача №2

   Футбольный мяч напоминает многогранник с 32 гранями, 20 из которых – правильные шестиугольники, а 12 – правильные пятиугольники. Сколько вершин у такого многогранника? (слайд №12)

   Решение. В задаче речь идет об усеченном икосаэдре. Найдем общее число ребер этого многогранника. Так как он имеет 12 пятиугольных граней, то 5 12+620=180, т. е 2Р = 180, Р = 90. А по условию Г = 32, то по теореме Эйлера

   В+Г - Р =2, т.е. В = Р - Г +2 = 90 - 32 +2=60

   Теорема Эйлера : Сумма числа вершин и числа граней многогранника на 2 больше числа его ребер, т.е. В + Г - Р = 2

   Утверждение: Число сторон всех граней равно удвоенному числу ребер,

   т. к. каждое ребро принадлежит сразу двум граням, следовательно, при подсчете учитывается дважды. (слайд №13)

   Задача №3

   Имеется куча зерна пшеницы, которую нужно отправить на склад. Оцените объем зерна в куче. Как это сделать? (слайд №14)

   Решение. По своей форме куча зерна заметно отличается от известных про­странственных фигур, но отдаленно она напоминает круговой конус.

   Объем конуса V = 1/3·S·h. Даже приняв, что куча зерна имеет форму конуса, нам сложно непосредственно измерить R и Н. Можно считать, что основанием конуса - модели служит круг, окружность которого имеет такую же длину, как периметр основания кучи. Эту длину можно измерить непосредственно шнуром. Если она равна С, то R=C/2π. Высоту Н тоже неудобно замерить непосредственно, но легко с помощью шнура найти « перекидку». Р = А·В, тогда

   Задача №4

   А сейчас предлагаю вам послушать одну из тех немногих легенд, в которых при кажущемся правдоподобии нет и зерна правды. Если бы какой-нибудь древний деспот вздумал осуществить такого рода затею, о которой я сейчас расскажу, он был бы обескуражен лицемерию результата. (слайд №15)

   Итак, в поэме АС Пушкина «Скупой рыцарь» рассказана легенда восточных народов.

   Читал я где-то,

   Что царь однажды воинам своим

   Велел снести земли по горсти в кучу,-

   И гордый холм возвысился.

   И царь мог с высоты с весельем озирать.

   И дол, покрытый белыми шатрами,

   И море, где бежали корабли.

   Какой высоты мог быть такой холм? Ответив на этот вопрос, вы убедитесь в мизерности результата.

   Решение. 1 горсть = 1/5л = 0,2 дм 3

   Пусть войско из 100000 человек. Угол может быть только 45°(и меньше) иначе земля будет осыпаться. Нужно обладать богатым воображением, чтобы земляную кучу в полтора человеческих роста назвать гордым холмом.

   6 Тест.

   Учащиеся получают индивидуальные пакеты с тестами, которые начинают выполнять в классе, дома заканчивают.

   7 Итог урока.