X в кубе минус y в кубе. Формулы сокращенного умножения. Подробная теория с примерами. Дополнительные формулы сокращенного умножения

>>Математика: Формулы сокращенного умножения

Формулы сокращенного умножения

Имеется несколько случаев, когда умножение одного многочлена на другой приводит к компактному, легко запоминающемуся результату. В этих случаях предпочтительнее не умножать каждый раз один многочлен на другой, а пользоваться готовым результатом. Рассмотрим эти случаи.

1. Квадрат суммы и квадрат разности:

Пример 1. Раскрыть скобки в выражении:

а) (Зх + 2) 2 ;

б) (5а 2 - 4b 3) 2

а) Воспользуемся формулой (1), учтя, что в роли а выступает Зх, а в роли b - число 2.
Получим:

(Зх + 2) 2 = (Зх) 2 + 2 Зх 2 + 2 2 = 9x 2 + 12x + 4.

б) Воспользуемся формулой (2) , учтя, что в роли а выступает5а 2 , а в ролиb выступает 4b 3 . Получим:

(5а 2 -4b 3) 2 = (5а 2) 2 - 2- 5a 2 4b 3 + (4b 3) 2 = 25a 4 -40a 2 b 3 + 16b 6 .

При использовании формул квадрата суммы или квадрата разности учитывайте, что
(- a - b) 2 = (а + b) 2 ;
(b-a) 2 = (a-b) 2 .

Это следует из того, что (- а) 2 = а 2 .

Отметим, что на формулах (1) и (2) основаны некоторые математические фокусы, позволяющие производить вычисления в уме.

Например, можно практически устно возводить в квадрат числа, оканчивающиеся на 1 и 9. В самом деле

71 2 = (70 + 1) 2 = 70 2 + 2 70 1 + 1 2 = 4900 + 140 + 1 = 5041;
91 2 = (90 + I) 2 = 90 2 + 2 90 1 + 1 2 = 8100 + 180 + 1 = 8281;
69 2 = (70 - I) 2 = 70 2 - 2 70 1 + 1 2 = 4900 - 140 + 1 = 4761.

Иногда можно быстро возвести в квадрат и число, оканчивающееся цифрой 2 или цифрой 8. Например,

102 2 = (100 + 2) 2 = 100 2 + 2 100 2 + 2 2 = 10 000 + 400 + 4 = 10 404;

48 2 = (50 - 2) 2 = 50 2 - 2 50 2 + 2 2 = 2500 - 200 + 4 = 2304.

Но самый элегантный фокус связан с возведением в квадрат чисел, оканчивающихся цифрой 5.
Проведем соответствующие рассуждения для 85 2 .

Имеем:

85 2 = (80 + 5) 2 = 80 2 + 2 80 5 + 5 2 =-80 (80+ 10)+ 25 = 80 90 + 25 = 7200 + 25 = 7225.

Замечаем, что для вычисления 85 2 достаточно было умножить 8 на 9 и к полученному результату приписать справа 25. Аналогично можно поступать и в других случаях. Например, 35 2 = 1225 (3 4 = 12 и к полученному числу приписали справа 25);

65 2 = 4225; 1252 = 15625 (12 18 = 156 и к полученному числу приписали справа 25).

Раз уж мы с вами заговорили о различных любопытных обстоятельствах, связанных со скучными (на первый взгляд) формулами (1) и (2), то дополним этот разговор следующим геометрическим рассуждением. Пусть а и b - положительные числа. Рассмотрим квадрат со стороной а + b и вырежем в двух его углах квадраты со сторонами, соответственно равными а и b (рис. 4).

Площадь квадрата со стороной а + b равна (а + b) 2 . Но этот квадрат мы разрезали на четыре части: квадрат со стороной а (его площадь равна а 2), квадрат со стороной b (его площадь равна b 2), два прямоугольника со сторонами а и b (площадь каждого такого прямоугольника равна ab). Значит, (а + b) 2 = а 2 + b 2 + 2аb, т. е. получили формулу (1).

Умножим двучлен а + b на двучлен а - b. Получим:
(а + b) (а - b) = а 2 - аb + bа - b 2 = а 2 - b 2 .
Итак

Любое равенство в математике употребляется как слева направо (т.е. левая часть равенства заменяется его правой частью), так и справа налево (т.е. правая часть равенства заменяется его левой частью). Если формулу C) использовать слева направо, то она позволяет заменить произведение (а + b) (а - b) готовым результатом а 2 - b 2 . Эту же формулу можно использовать справа налево, тогда она позволяет заменить разность квадратов а 2 - b 2 произведением (а + b) (а - b). Формуле (3) в математике дано специальное название - разность квадратов.

Замечание. Не путайте термины «разность квадратов» к и «квадрат разности». Разность квадратов - это а 2 - b 2 , значит, речь идет о формуле (3); квадрат разности - это (a- b) 2 , значит речь идет о формуле (2). На обычном языке формулу (3) читают «справа налево» так:

разность квадратов двух чисел (выражений) равна произведению суммы этих чисел (выражений) на их разность,

Пример 2. Выполнить умножение

(3x- 2y)(3x+ 2y)
Решение. Имеем:
(Зх - 2у) (Зх + 2у)= (Зx) 2 - (2у) 2 = 9x 2 - 4y 2 .

Пример 3. Представить двучлен 16x 4 - 9 в виде произведения двучленов.

Решение. Имеем: 16x 4 =(4x 2) 2 , 9 = З 2 , значит, заданный двучлен есть разность квадратов, т.е. к нему можно применить формулу (3), прочитанную справа налево. Тогда получим:

16x 4 - 9 = (4x 2) 2 - З 2 = (4x 2 + 3)(4x 2 - 3)

Формула (3), как и формулы (1) и (2), используется для математических фокусов. Смотрите:

79 81 = (80 - 1) (80 + 1) - 802 - I2 = 6400 - 1 = 6399;
42 38 = D0 + 2) D0 - 2) = 402 - 22 = 1600 - 4 = 1596.

Завершим разговор о формуле разности квадратов любопытным геометрическим рассуждением. Пусть а и b - положительные числа, причем а > b. Рассмотрим прямоугольник со сторонами а + b и а - b (рис. 5). Его площадь равна (а + b) (а - b). Отрежем прямоугольник со сторонами b и а - b и подклеим его к оставшейся части так, как показано на рисунке 6. Ясно, что полученная фигура имеет ту же площадь, т. е. (а + b) (а - b). Но эту фигуру можно
построить так: из квадрата со стороной а вырезать квадрат со стороной b (это хорошо видно на рис. 6). Значит, площадь новой фигуры равна а 2 - b 2 . Итак, (а + b) (а - b) = а 2 - b 2 , т. е. получили формулу (3).

3. Разность кубов и сумма кубов

Умножим двучлен а - b на трехчлен а 2 + ab + b 2 .
Получим:
(a - b) (а 2 + ab + b 2) = а а 2 + а ab + а b 2 - b а 2 - b аb -b b 2 = а 3 + а 2 b + аb 2 -а 2 b-аb 2 -b 3 = а 3 -b 3 .

Аналогично

(а + b) (а 2 - аb + b 2) = а 3 + b 3

(проверьте это сами). Итак,

Формулу (4) обычно называют разностью кубов , формулу(5) - суммой кубов. Попробуем перевести формулы (4) и (5) на обычный язык. Прежде чем это сделать, заметим, что выражение a 2 + ab + b 2 похоже на выражение а 2 + 2ab + b 2 , которое фигурировало в формуле (1) и давало (а + b) 2 ; выражение а 2 - ab + b 2 похоже на выражение а 2 - 2ab + b 2 , которое фигурировало в формуле (2) и давало (а - b) 2 .

Чтобы отличить (в языке) эти пары выражений друг от друга, каждое из выражений а 2 + 2ab + b 2 и а 2 - 2ab + b 2 называют полным квадратом (суммы или разности), а каждое из выражений а 2 + ab + b 2 и а 2 - ab + b 2 называют неполным квадратом (суммы или разности). Тогда получается следующий перевод формул (4) и (5) (прочитанных «справа налево») на обычный язык:

разность кубов двух чисел (выражений) равна произведению разности этих чисел (выражений) на неполный квадрат их суммы; сумма кубов двух чисел (выражений) равна произведению суммы этих чисел (выражений) на неполный квадрат их разности.

Замечание. Все полученные в этом параграфе формулы (1)-(5) используются как слева направо, так и справа налево, только в первом случае (слева направо) говорят, что (1)-(5) - формулы сокращенного умножения, а во втором случае (справа налево) говорят, что (1)-(5) - формулы разложения на множители.

Пример 4. Выполнить умножение (2х- 1)(4x 2 + 2х +1).

Решение. Так как первый множитель есть разность одночленов 2х и 1, а второй множитель - неполный квадрат их суммы, то можно воспользоваться формулой (4). Получим:

(2х - 1)(4x 2 + 2х + 1) = (2x) 3 - I 3 = 8x 3 - 1.

Пример 5. Представить двучлен 27а 6 + 8b 3 в виде произведения многочленов.

Решение. Имеем: 27а 6 = (За 2) 3 , 8b 3 =(2b) 3 . Значит, заданный двучлен есть сумма кубов, т. е. к нему можно применить формулу 95), прочитанную справа налево. Тогда получим:

27а 6 + 8b 3 = (За 2) 3 + (2b) 3 = (За 2 + 2Ь) ((За 2) 2 - За 2 2Ь + (2b) 2) = (За 2 + 2Ь) (9а 4 - 6а 2 Ь + 4b 2).

Помощь школьнику онлайн , Математика для 7 класса скачать , календарно-тематическое планирование

А. В. Погорелов, Геометрия для 7-11 классов, Учебник для общеобразовательных учреждений

Содержание урока конспект урока опорный каркас презентация урока акселеративные методы интерактивные технологии Практика задачи и упражнения самопроверка практикумы, тренинги, кейсы, квесты домашние задания дискуссионные вопросы риторические вопросы от учеников Иллюстрации аудио-, видеоклипы и мультимедиа фотографии, картинки графики, таблицы, схемы юмор, анекдоты, приколы, комиксы притчи, поговорки, кроссворды, цитаты Дополнения рефераты статьи фишки для любознательных шпаргалки учебники основные и дополнительные словарь терминов прочие Совершенствование учебников и уроков исправление ошибок в учебнике обновление фрагмента в учебнике элементы новаторства на уроке замена устаревших знаний новыми Только для учителей идеальные уроки календарный план на год методические рекомендации программы обсуждения Интегрированные уроки

Умножение многочлена на многочлен

! Чтобы умножить многочлен на многочлен , нужно каждое слагаемое одного многочлена умножить на каждое слагаемое другого многочлена и полученные произведения сложить.

Будьте внимательны! У каждого слагаемого есть свой знак.

Формулы сокращённого умножения многочленов - это, как правило, 7 (семь) часто встречающихся случаев умножения многочленов.

Определения и Формулы сокращенного умножения. Таблица

Таблица 2. Определения формул сокращенного умножения (нажмите для увеличения)

Три формулы сокращенного умножения для квадратов

1. Формула квадрата суммы.

Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения плюс удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.

Чтобы лучше понять формулу, сначала упростим выражение (развернем формулу квадрата суммы)

А теперь разложим на множители (свернем формулу)

Последовательность действий при разложении на множители:

определи, какие одночлены возводились в квадрат (5 и 3m );
проверь, стоит ли в середине формулы их удвоенное произведение (2 5 3m = 30m );
запиши ответ (5 + 3m) 2 .

2. Формула квадрата разности

Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения минус удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.

Сначала упростим выражение (развернем формулу):

А потом наоборот, разложим на множители (свернем формулу):

3. Формула разности квадратов

Произведение суммы двух выражений на их разность равно разности квадратов этих выражений.

Свернем формулу (выполним умножение)

А теперь развернем формулу (разложим на множители)

Четыре формулы сокращенного умножения для кубов

4. Формула куба суммы двух чисел

Куб суммы двух выражений равен кубу первого выражения плюс утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго плюс куб второго выражения.

Последовательность действий при «сворачивании» формулы:

найти одночлены, которые возводились в куб (здесь 4х и 1 );
проверить средние слагаемые на соответствие формуле;
записать ответ.

5. Формула куба разности двух чисел

Куб разности двух выражений равен кубу первого выражения минус утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго минус куб второго выражения.

6. Формула суммы кубов

Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы первого и второго выражения на неполный квадрат разности этих выражений.

И обратно:

7. Формула разности кубов

Разность кубов двух выражений равна произведению разности первого и второго выражения на неполный квадрат суммы этих выражений.

Применение формул сокращенного умножения. Таблица

Пример использования формул на практике (устный счет).

Задача: Найти площадь квадрата со стороной а = 71 см.

Решение: S = a 2 . Используя формулу квадрата суммы, имеем

71 2 = (70 + 1) 2 = 70 2 + 2*70*1 + 1 2 = 4900 + 140 + 1 = 5041 см 2

Ответ: 5041 см 2

Содержание урока

Квадрат суммы двух выражений

Существует ряд случаев, когда умножение многочлена на многочлен можно значительно упростить. Таковым к примеру является случай (2x + 3y ) 2 .

Выражение (2x + 3y ) 2 это перемножение двух многочленов, каждый из которых равен (2x + 3y )

(2x + 3y ) 2 = (2x + 3y )(2x + 3y )

Получили умножение многочлена на многочлен. Выполним его:

(2x + 3y ) 2 = (2x + 3y )(2x + 3y ) = 4x 2 + 6xy + 6xy + 9y 2 = 4x 2 + 12xy + 9y 2

То есть выражение (2x + 3y ) 2 равно 4x 2 + 12xy + 9y 2

(2x + 3y ) 2 = 4x 2 + 12xy + 9y 2

Решим аналогичный пример, который попроще:

(a + b ) 2

Выражение (a + b ) 2 это перемножение двух многочленов, каждый из которых равен (a + b )

(a + b ) 2 = (a + b )(a + b )

Выполним это умножение:

(a + b ) 2 = (a + b )(a + b ) = a 2 + ab + ab + b 2 = a 2 + 2ab + b 2

То есть выражение (a + b ) 2 равно a 2 + 2ab + b 2

(a + b ) 2 = a 2 + 2ab + b 2

Оказывается, что случай (a + b ) 2 можно распространить для любых a и b . Первый пример, который мы решили, а именно (2x + 3y ) 2 можно решить с помощью тождества (a + b ) 2 = a 2 + 2ab + b 2 . Для этого нужно подставить вместо переменных a и b соответствующие члены из выражение (2x + 3y ) 2 . В данном случае переменной a соответствует член 2x , а переменной b соответствует член 3y

a = 2x

b = 3y

И далее можно воспользоваться тождеством (a + b ) 2 = a 2 + 2ab + b 2 , но вместо переменных a и b нужно подставлять выражения 2x и 3y соответственно:

(2x + 3y ) 2 = (2x ) 2 + 2 × 2x × 3y + (3y ) 2 = 4x 2 + 12xy + 9y 2

Как и в прошлый раз получили многочлен 4x 2 + 12xy + 9y 2 . Решение обычно записывают покороче, выполняя в уме все элементарные преобразования:

(2x + 3y ) 2 = 4x 2 + 12xy + 9y 2

Тождество (a + b ) 2 = a 2 + 2ab + b 2 называют формулой квадрата суммы двух выражений. Эту формулу можно прочитать так:

Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения плюс удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.

Рассмотрим выражение (2 + 3) 2 . Его можно вычислить двумя способами: выполнить сложение в скобках и возвести полученный результат в квадрат, либо воспользоваться формулой квадрата суммы двух выражений.

Первый способ:

(2 + 3) 2 = 5 2 = 25

Второй способ:

(2 + 3) 2 = 2 2 + 2 × 2 × 3 + 3 2 = 4 + 12 + 9 = 25

Пример 2 . Преобразовать выражение (5a + 3) 2 в многочлен.

Воспользуемся формулой квадрата суммы двух выражений:

(a + b ) 2 = a 2 + 2ab + b 2

(5a + 3) 2 = (5a ) 2 + 2 × 5a × 3 + 3 2 = 25a 2 + 30a + 9

Значит, (5a + 3) 2 = 25a 2 + 30a + 9.

Попробуем решить данный пример, не пользуясь формулой квадрата суммы. У нас должен получиться тот же результат:

(5a + 3) 2 = (5a + 3)(5a + 3) = 25a 2 + 15a + 15a + 9 = 25a 2 + 30a + 9

Формула квадрата суммы двух выражений имеет геометрический смысл. Мы помним, что для вычисления площади квадрата нужно возвести во вторую степень его сторону.

Например, площадь квадрата со стороной a будет равна a 2 . Если увеличить сторону квадрата на b , то площадь будет равна (a + b ) 2

Рассмотрим следующий рисунок:

Представим, что сторону квадрата, изображённого на данном рисунке увеличили на b . У квадрата все стороны равны. Если его сторону увеличить на b , то остальные стороны тоже увеличатся на b

Получился новый квадрат, который больше предыдущего. Чтобы хорошо увидеть его, достроим отсутствующие стороны:

Чтобы вычислить площадь этого квадрата, можно по отдельности вычислить квадраты и прямоугольники, входящие в него, затем сложить полученные результаты.

Сначала можно вычислить квадрат со стороной a — его площадь будет равна a 2 . Затем можно вычислить прямоугольники со сторонами a и b — они будут равны ab . Затем можно вычислить квадрат со стороной b

В результате получается следующая сумма площадей:

a 2 + ab + ab + b 2

Сумму площадей одинаковых прямоугольников можно заменить на умножение 2ab , которое буквально будет означать «повторить два раза площадь прямоугольника ab» . Алгебраически это получается путём приведения подобных слагаемых ab и ab . В результате получается выражение a 2 + 2ab + b 2 , которое является правой частью формулы квадрата суммы двух выражений:

(a + b ) 2 = a 2 + 2ab + b 2

Квадрат разности двух выражений

Формула квадрата разности двух выражений выглядит следующим образом:

(a − b ) 2 = a 2 − 2ab + b 2

Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения минус удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.

Формула квадрата разности двух выражений выводится таким же образом, как и формула квадрата суммы двух выражений. Выражение (a − b ) 2 представляет собой произведение двух многочленов, каждый из которых равен (a − b )

(a − b ) 2 = (a − b )(a − b )

Если выполнить это умножение, то получится многочлен a 2 − 2ab + b 2

(a − b ) 2 = (a − b )(a − b ) = a 2 − ab − ab + b 2 = a 2 − 2ab + b 2

Пример 1 . Преобразовать выражение (7x − 5) 2 в многочлен.

Воспользуемся формулой квадрата разности двух выражений:

(a − b ) 2 = a 2 − 2ab + b 2

(7x − 5) 2 = (7x ) 2 − 2 × 7x × 5 + 5 2 = 49x 2 − 70x + 25

Значит, (7x − 5) 2 = 49x 2 + 70x + 25.

Попробуем решить данный пример, не пользуясь формулой квадрата разности. У нас должен получиться тот же результат:

(7x − 5) 2 = (7x − 5) (7x − 5) = 49x 2 − 35x − 35x + 25 = 49x 2 − 70x + 25.

Формула квадрата разности двух выражений тоже имеет геометрический смысл. Если площадь квадрата со стороной a равна a 2 , то площадь квадрата, сторона которого уменьшена на b , будет равна (a − b ) 2

Рассмотрим следующий рисунок:

Представим, что сторону квадрата, изображённого на данном рисунке уменьшили на b . У квадрата все стороны равны. Если одну сторону уменьшить на b , то остальные стороны тоже уменьшатся на b

Получился новый квадрат, который меньше предыдущего. На рисунке он выделен жёлтым. Сторона его равна a − b , поскольку старая сторона a уменьшилась на b . Чтобы вычислить площадь этого квадрата, можно из первоначальной площади квадрата a 2 вычесть площади прямоугольников, которые получились в процессе уменьшения сторон старого квадрата. Покажем эти прямоугольники:

Тогда можно написать следующее выражение: старая площадь a 2 минус площадь ab минус площадь (a − b )b

a 2 − ab − (a − b )b

Раскроем скобки в выражении (a − b )b

a 2 − ab − ab + b 2

Приведем подобные слагаемые:

a 2 − 2ab + b 2

В результате получается выражение a 2 − 2ab + b 2 , которое является правой частью формулы квадрата разности двух выражений:

(a − b ) 2 = a 2 − 2ab + b 2

Формулы квадрата суммы и квадрата разности в общем называют формулами сокращённого умножения . Эти формулы позволяют значительно упростить и ускорить процесс перемножения многочленов.

Ранее мы говорили, что рассматривая член многочлена по отдельности, его нужно рассматривать вместе со знаком, который перед ним располагается.

Но применяя формулы сокращённого умножения, знак исходного многочлена не следует рассматривать в качестве знака самого этого члена.

Например, если дано выражение (5x − 2y ) 2 , и мы хотим воспользоваться формулой (a − b ) 2 = a 2 − 2ab + b 2 , то вместо b нужно подставлять 2y , а не −2y . Это особенность работы с формулами, которую не следует забывать.

(5x − 2y ) 2
a = 5x
b = 2y
(5x − 2y ) 2 = (5x ) 2 − 2 × 5x × 2y + (2y ) 2 = 25x 2 − 20xy + 4y 2

Если подставлять −2y , то это будет означать, что разность в скобках исходного выражения была заменена на сумму:

(5x − 2y ) 2 = (5x + (−2y )) 2

и в таком случае нужно применять не формулу квадрата разности, а формулу квадрата суммы:

(5x + (−2y ) 2
a = 5x
b = −2y
(5x + (−2y )) 2 = (5x ) 2 + 2 × 5x × (−2y ) + (−2y ) 2 = 25x 2 − 20xy + 4y 2

Исключением могут быть выражения вида (x − (−y )) 2 . В данном случае, применяя формулу (a − b ) 2 = a 2 − 2ab + b 2 вместо b следует подставить (−y )

(x − (−y )) 2 = x 2 − 2 × x × (−y ) + (−y ) 2 = x 2 + 2xy + y 2

Но возводя в квадрат выражения вида x − (−y ) , удобнее будет заменять вычитание на сложение x + y . Тогда первоначальное выражение примет вид (x + y ) 2 и можно будет воспользоваться формулой квадрата суммы, а не разности:

(x + y ) 2 = x 2 + 2xy + y 2

Куб суммы и куб разности

Формулы куба суммы двух выражений и куба разности двух выражений выглядят следующим образом:

(a + b ) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

(a − b ) 3 = a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b 3

Формулу куба суммы двух выражений можно прочитать так:

А формулу куба разности двух выражений можно прочитать так:

При решении задач желательно знать эти формулы наизусть. Если не запомнили — не беда! Их можно выводить самостоятельно. Мы это уже умеем.

Выведем формулу куба суммы самостоятельно:

(a + b ) 3

Выражение (a + b ) 3 представляет собой произведение из трёх многочленов, каждый из которых равен (a + b )

(a + b ) 3 = (a + b )(a + b )(a + b )

Но выражение (a + b ) 3 также может быть записано как (a + b )(a + b ) 2

(a + b ) 3 = (a + b )(a + b ) 2

При этом сомножитель (a + b ) 2 является квадратом суммы двух выражений. Этот квадрат суммы равен выражению a 2 + 2ab + b 2 .

Тогда (a + b ) 3 можно записать как (a + b )(a 2 + 2ab + b 2) .

(a + b ) 3 = (a + b )(a 2 + 2ab + b 2)

А это есть умножение многочлена на многочлен. Выполним его:

(a + b ) 3 = (a + b )(a 2 + 2ab + b 2) = a 3 + 2a 2 b + ab 2 + a 2 b + 2ab 2 + b 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

Аналогично можно вывести формулу куба разности двух выражений:

(a − b ) 3 = (a − b )(a 2 − 2ab + b 2) = a 3 − 2a 2 b + ab 2 − a 2 b + 2ab 2 − b 3 = a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b 3

Пример 1 . Преобразуйте выражение (x + 1) 3 в многочлен.

(a + b ) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

(x + 1) 3 = x 3 + 3 × x 2 × 1 + 3 × x × 1 2 + 1 3 = x 3 + 3x 2 + 3x + 1

Попробуем решить данный пример, не используя формулу куба суммы двух выражений

(x + 1) 3 = (x + 1)(x + 1)(x + 1) = (x + 1)(x 2 + 2x + 1) = x 3 + 2x 2 + x + x 2 + 2x + 1 = x 3 + 3x 2 + 3x + 1

Пример 2 . Преобразовать выражение (6a 2 + 3b 3) 3 в многочлен.

Воспользуемся формулой куба суммы двух выражений:

(a + b ) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

(6a 2 + 3b 3) 3 = (6a 2) 3 + 3 × (6a 2) 2 × 3b 3 + 3 × 6a 2 × (3b 3) 2 + (3b 3) 3 = 216a 6 + 3 × 36a 4 × 3b 3 + 3 × 6a 2 × 9b 6 + 27b 9

Пример 3 . Преобразовать выражение (n 2 − 3) 3 в многочлен.

(a − b ) = a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b 3

(n 2 − 3) 3 = (n 2) 3 − 3 × (n 2) 2 × 3 + 3 × n 2 × 3 2 − 3 3 = n 6 − 9n 4 + 27n 2 − 27

Пример 4 . Преобразовать выражение (2x 2 − x 3) 3 в многочлен.

Воспользуемся формулой куба разности двух выражений:

(a − b ) = a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b 3

(2x 2 − x 3) 3 = (2x 2) 3 − 3 × (2x 2) 2 × x 3 + 3 × 2x 2 × (x 3) 2 − (x 3) 3 =
8x 6 − 3 × 4x 4 × x 3 + 3 × 2x 2 × x 6 − x 9 =
8x 6 − 12x 7 + 6x 8 − x 9

Умножение разности двух выражений на их сумму

Встречаются задачи, в которых требуется умножить разность двух выражений на их сумму. Например:

(a − b )(a + b )

В этом выражении разность двух выражений a и b умножена на сумму этих же двух выражений. Выполним данное умножение:

(a − b )(a + b ) = a 2 + ab − ab − b 2 = a 2 − b 2

То есть выражение (a − b )(a + b ) равно a 2 − b 2

(a − b )(a + b ) = a 2 − b 2

Видим, что при умножении разности двух выражений на их сумму, получается разность квадратов этих выражений.

Произведение разности двух выражений и их суммы равно разности квадратов этих выражений.

Случай (a − b )(a + b ) можно распространить для любых a и b . Проще говоря, если при решении задачи потребуется умножить разность двух выражений на их сумму, то это умножение можно заменить на разность квадратов этих выражений.

Пример 1 . Выполнить умножение (2x − 5)(2x + 5)

В этом примере разность выражений 2x и 5 умножена на сумму этих же выражений. Тогда согласно формуле (a − b )(a + b ) = a 2 − b 2 имеем:

(2x − 5)(2x + 5) = (2x ) 2 − 5 2

Вычислим правую часть, получим 4x 2 − 25

(2x − 5)(2x + 5) = (2x ) 2 − 5 2 = 4x 2 − 25

Попробуем решить данный пример, не пользуясь формулой (a − b )(a + b ) = a 2 − b 2 . У нас получится тот же результат 4x 2 − 25

(2x − 5)(2x + 5) = 4x 2 − 10x + 10x − 25 = 4x 2 − 25

Пример 2 . Выполнить умножение (4x − 5y )(4x + 5y )

(a − b )(a + b ) = a 2 − b 2

(4x − 5y )(4x + 5y ) = (4x ) 2 − (5y ) 2 = 16x 2 − 25y 2

Пример 3 . Выполнить умножение (2a + 3b )(2a − 3b )

Воспользуемся формулой умножения разности двух выражений на их сумму:

(a − b )(a + b ) = a 2 − b 2

(2a + 3b )(2a − 3b ) = (2a ) 2 − (3b ) 2 = 4a 2 − 9b 2

В данном примере сумма членов 2a и 3b располагалась раньше, чем разность этих членов. А в формуле (a − b )(a + b ) = a 2 − b 2 разность располагается раньше.

Нет никакой разницы как располагаются сомножители (a − b ) в (a + b ) в формуле. Они могут быть быть записаны как (a − b )(a + b ) , так и (a + b )(a − b ) . Результат по прежнему будет равен a 2 − b 2 , поскольку от перестановки сомножителей произведение не меняется.

Так и в данном примере сомножители (2a + 3b ) и (2a − 3b ) можно записать как (2a + 3b )(2a − 3b ) , так и (2a − 3b )(2a + 3b ) . Результат всё так же будет равен 4a 2 − 9b 2 .

Пример 3 . Выполнить умножение (7 + 3x )(3x − 7)

Воспользуемся формулой умножения разности двух выражений на их сумму:

(a − b )(a + b ) = a 2 − b 2

(7 + 3x )(3x − 7) = (3x ) 2 − 7 2 = 9x 2 − 49

Пример 4 . Выполнить умножение (x 2 − y 3)(x 2 + y 3)

(a − b )(a + b ) = a 2 − b 2

(x 2 − y 3)(x 2 + y 3) = (x 2) 2 − (y 3) 2 = x 4 − y 6

Пример 5 . Выполнить умножение (−5x − 3y )(5x − 3y )

В выражении (−5x − 3y ) вынесем за скобки −1 , тогда исходное выражение примет следующий вид:

(−5x − 3y )(5x − 3y ) = −1(5x + 3y )(5x − 3y )

Произведение (5x + 3y )(5x − 3y ) заменим на разность квадратов:

(−5x − 3y )(5x − 3y ) = −1(5x + 3y )(5x − 3y ) = −1((5x ) 2 − (3y ) 2)

Разность квадратов была заключена в скобки. Если этого не сделать, то получится, что −1 умножается только на (5x ) 2 . А это приведет к ошибке и изменению значения исходного выражения.

(−5x − 3y )(5x − 3y ) = −1(5x + 3y )(5x − 3y ) = −1((5x ) 2 − (3y ) 2) = −1(25x 2 − 9x 2)

Теперь умножим −1 на выражение в скобках и получим окончательный результат:

(−5x − 3y )(5x − 3y ) = −1(5x + 3y )(5x − 3y ) = −1((5x ) 2 − (3y ) 2) =
−1(25x 2 − 9y 2) = −25x 2 + 9y 2

Умножение разности двух выражений на неполный квадрат их суммы

Встречаются задачи, в которых требуется умножить разность двух выражений на неполный квадрат их суммы. Выглядит это произведение следующим образом:

(a − b )(a 2 + ab + b 2)

Первый многочлен (a − b ) является разностью двух выражений, а второй многочлен (a 2 + ab + b 2) является неполным квадратом суммы этих двух выражений.

Неполный квадрат суммы это многочлен вида a 2 + ab + b 2 . Он похож на обычный квадрат суммы a 2 + 2ab + b 2

Например, выражение 4x 2 + 6xy + 9y 2 является неполным квадратом суммы выражений 2x и 3y .

Действительно, первый член выражения 4x 2 + 6xy + 9y 2 , а именно 4x 2 является квадратом выражения 2x , поскольку (2x ) 2 = 4x 2 . Третий член выражения 4x 2 + 6xy + 9y 2 , а именно 9y 2 является квадратом выражения 3y , поскольку (3y ) 2 = 9y 2 . Член находящийся в середине 6xy , является произведением выражений 2x и 3y.

Итак, умножим разность (a − b ) на неполный квадрат суммы a 2 + ab + b 2

(a − b )(a 2 + ab + b 2) = a (a 2 + ab + b 2) − b (a 2 + ab + b 2) =
a 3 + a 2 b + ab 2 − a 2 b − ab 2 − b 3 = a 3 − b 3

То есть выражение (a − b )(a 2 + ab + b 2) равно a 3 − b 3

(a − b )(a 2 + ab + b 2) = a 3 − b 3

Это тождество называют формулой умножения разности двух выражений на неполный квадрат их суммы. Эту формулу можно прочитать так:

Произведение разности двух выражений и неполного квадрата их суммы равно разности кубов этих выражений.

Пример 1 . Выполнить умножение (2x − 3y )(4x 2 + 6xy + 9y 2)

Первый многочлен (2x − 3y ) это разность двух выражений 2x и 3y . Второй многочлен 4x 2 + 6xy + 9y 2 это неполный квадрат суммы двух выражений 2x и 3y . Это позволяет не приводя длинных вычислений, воспользоваться формулой (a − b )(a 2 + ab + b 2) = a 3 − b 3 . В нашем случае умножение (2x − 3y )(4x 2 + 6xy + 9y 2) можно заменить на разность кубов 2x и 3y

(2x − 3y )(4x 2 + 6xy + 9y 2) = (2x ) 3 − (3y ) 3 = 8x 3 − 27y 3

(a − b )(a 2 + ab + b 2) = a 3 − b 3 . У нас получится тот же результат, но решение станет длиннее:

(2x − 3y )(4x 2 + 6xy + 9y 2) = 2x (4x 2 + 6xy + 9y 2) − 3y (4x 2 + 6xy + 9y 2) =
8x 3 + 12x 2 y + 18xy 2 − 12x 2 y − 18xy 2 − 27y 3 = 8x 3 − 27y 3

Пример 2 . Выполнить умножение (3 − x )(9 + 3x + x 2)

Первый многочлен (3 − x ) является разностью двух выражений, а второй многочлен является неполным квадратом суммы этих двух выражений. Это позволяет воспользоваться формулой (a − b )(a 2 + ab + b 2) = a 3 − b 3

(3 − x )(9 + 3x + x 2) = 3 3 − x 3 = 27 − x 3

Умножение суммы двух выражений на неполный квадрат их разности

Встречаются задачи, в которых требуется умножить сумму двух выражений на неполный квадрат их разности. Выглядит это произведение следующим образом:

(a + b )(a 2 − ab + b 2)

Первый многочлен (a + b (a 2 − ab + b 2) является неполным квадратом разности этих двух выражений.

Неполный квадрат разности это многочлен вида a 2 − ab + b 2 . Он похож на обычный квадрат разности a 2 − 2ab + b 2 за исключением того, что в нём произведение первого и второго выражений не удваивается.

Например, выражение 4x 2 − 6xy + 9y 2 является неполным квадратом разности выражений 2x и 3y .

(2x ) 2 − 2x × 3y + (3y ) 2 = 4x 2 − 6xy + 9y 2

Вернёмся к изначальному примеру. Умножим сумму a + b на неполный квадрат разности a 2 − ab + b 2

(a + b )(a 2 − ab + b 2) = a (a 2 − ab + b 2) + b (a 2 − ab + b 2) =
a 3 − a 2 b + ab 2 + a 2 b − ab 2 + b 3 = a 3 + b 3

То есть выражение (a + b )(a 2 − ab + b 2) равно a 3 + b 3

(a + b )(a 2 − ab + b 2) = a 3 + b 3

Это тождество называют формулой умножения суммы двух выражений на неполный квадрат их разности. Эту формулу можно прочитать так:

Произведение суммы двух выражений и неполного квадрата их разности равно сумме кубов этих выражений.

Пример 1 . Выполнить умножение (2x + 3y )(4x 2 − 6xy + 9y 2)

Первый многочлен (2x + 3y ) это сумма двух выражений 2x и 3y , а второй многочлен 4x 2 − 6xy + 9y 2 это неполный квадрат разности этих выражений. Это позволяет не приводя длинных вычислений, воспользоваться формулой (a + b )(a 2 − ab + b 2) = a 3 + b 3 . В нашем случае умножение (2x + 3y )(4x 2 − 6xy + 9y 2) можно заменить на сумму кубов 2x и 3y

(2x + 3y )(4x 2 − 6xy + 9y 2) = (2x ) 3 + (3y ) 3 = 8x 3 + 27y 3

Попробуем решить этот же пример, не пользуясь формулой (a + b )(a 2 − ab + b 2) = a 3 + b 3 . У нас получится тот же результат, но решение станет длиннее:

(2x + 3y )(4x 2 − 6xy + 9y 2) = 2x (4x 2 − 6xy + 9y 2) + 3y (4x 2 − 6xy + 9y 2) =
8x 3 − 12x 2 y + 18xy 2 + 12x 2 y − 18xy 2 + 27y 3 = 8x 3 + 27y 3

Пример 2 . Выполнить умножение (2x + y )(4x 2 − 2xy + y 2)

Первый многочлен (2x + y ) является суммой двух выражений, а второй многочлен (4x 2 − 2xy + y 2) является неполным квадратом разности этих выражений. Это позволяет воспользоваться формулой (a + b )(a 2 − ab + b 2) = a 3 + b 3

(2x + y )(4x 2 − 2xy + y 2) = (2x ) 3 + y 3 = 8x 3 + y 3

(2x + y )(4x 2 − 2xy + y 2) = 2x (4x 2 − 2xy + y 2) + y (4x 2 − 2xy + y 2) =
8x 3 − 4x 2 y + 2xy 2 + 4x 2 y − 2xy 2 + y 3 = 8x 3 + y 3

Задания для самостоятельного решения

Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

Формулы сокращенного умножения.

Изучение формул сокращенного умножения: квадрата суммы и квадрата разности двух выражений; разности квадратов двух выражений; куба суммы и куба разности двух выражений; суммы и разности кубов двух выражений.

Применение формул сокращенного умножения при решении примеров.

Для упрощения выражений, разложения многочленов на множители, приведения многочленов к стандартному виду используются формулы сокращенного умножения. Формулы сокращенного умножения нужно знать наизусть .

Пусть а, b R. Тогда:

1. Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения плюс удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

2. Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения минус удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.

(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2

3. Разность квадратов двух выражений равна произведению разности этих выражений и их суммы.

a 2 - b 2 = (a -b) (a+b)

4. Куб суммы двух выражений равен кубу первого выражения плюс утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго плюс куб второго выражения.

(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

5. Куб разности двух выражений равен кубу первого выражения минус утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго минус куб второго выражения.

(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3

6. Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы первого и второго выражения на неполный квадрат разности этих выражений.

a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 - ab + b 2)

7. Разность кубов двух выражений равна произведению разности первого и второго выражения на неполный квадрат суммы этих выражений.

a 3 - b 3 = (a - b) (a 2 + ab + b 2)

Применение формул сокращенного умножения при решении примеров.

Пример 1.

Вычислить

а) Используя формулу квадрата суммы двух выражений, имеем

(40+1) 2 = 40 2 + 2 · 40 · 1 + 1 2 = 1600 + 80 + 1 = 1681

б) Используя формулу квадрата разности двух выражений, получим

98 2 = (100 – 2) 2 = 100 2 - 2 · 100 · 2 + 2 2 = 10000 – 400 + 4 = 9604

Пример 2.

Вычислить

Используя формулу разности квадратов двух выражений, получим

Пример 3.

Упростить выражение

(х - у) 2 + (х + у) 2

Воспользуемся формулами квадрата суммы и квадрата разности двух выражений

(х - у) 2 + (х + у) 2 = х 2 - 2ху + у 2 + х 2 + 2ху + у 2 = 2х 2 + 2у 2

Формулы сокращенного умножения в одной таблице:

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2
a 2 - b 2 = (a - b) (a+b)
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 - ab + b 2)
a 3 - b 3 = (a - b) (a 2 + ab + b 2)

Будут и задачи для самостоятельного решения, к которым можно посмотреть ответы.

Формулы сокращённого умножения позволяют производить тождественные преобразования выражений - многочленов. С их помощью многочлены можно разложить на множители, а применяя формулы в обратном порядке - представлять произведения двучленов, квадраты и кубы в виде многочленов. Рассмотрим все общепринятые формулы сокращённого умножения, их вывод, распространённые задачи на тождественные преобразования выражений с помощью этих формул, а также домашние задания (ответы к ним открываются по ссылкам).

Квадрат суммы

Формулой квадрата суммы называется равенство

(квадрат суммы двух чисел равен квадрату первого числа плюс удвоенное произведение первого числа на второе плюс квадрат второго числа).

Вместо a и b в эту формулу могут быть подставлены любые числа.

Формула квадрата суммы часто применяется для упрощения вычислений. Например,

С помощью формулы квадрата суммы многочлен можно разложить на множители, а именно, представить в виде произведения двух одинаковых множителей .

Пример 1.

Пример 2. Записать в виде многочлена выражение

Решение. По формуле квадрата суммы получаем

Квадрат разности

Формулой квадрата разности называется равенство

(квадрат разности двух чисел равен квадрату первого числа минус удвоенное произведение первого числа на второе плюс квадрат второго числа).

Формула квадрата разности часто применяется для упрощения вычислений. Например,

С помощью формулы квадрата разности многочлен можно разложить на множители, а именно, представить в виде произведения двух одинаковых множителей .

Формула следует из правила умножения многчлена на многочлен:

Пример 5. Записать в виде многочлена выражение

Решение. По формуле квадрата разности получаем

Применить формулу сокращённого умножения самостоятельно, а затем посмотреть решение

Выделение полного квадрата

Часто в многочлене второй степени содержится квадрат суммы или разности, но содержится в скрытом виде. Чтобы получить полный квадрат в явном виде, нужно преобразовать многочлен. Для этого, как правило, одно из слагаемых многочлена представляется в виде удвоенного произведения, а затем к многочлену прибавляется и из него вычитается одно и то же число.

Пример 7.

Решение. Этот многочлен можно преобразовать следующим образом:

Здесь мы представили 5x в виде удвоенного произведения 5/2 на x , прибавили к многочлену и вычли из него одно и то же число , далее применили формулу квадрата суммы для двучлена .

Итак, мы доказали равенство

равен полному квадрату плюс число .

Пример 8. Рассмотрим многочлен второй степени

Решение. Проведём над ним следующие преобразования:

Здесь мы представили 8x в виде удвоенного произведения x на 4 , прибавили к многочлену и вычли из него одно и то же число 4² , применили формулу квадрата разности для двучлена x − 4 .

Итак, мы доказали равенство

показывающее, что многочлен второй степени

равен полному квадрату плюс число −16 .

Применить формулу сокращённого умножения самостоятельно, а затем посмотреть решение

Куб суммы

Формулой куба суммы называется равенство

(куб суммы двух чисел равен кубу первого числа плюс утроенное произведение квадрата первого числа на второе, плюс утроенное произведение первого числа на квадрат второго и плюс куб второго числа).

Формула куба суммы выводится так:

Пример 10. Записать в виде многочлена выражение

Решение. По формуле куба суммы получаем

Применить формулу сокращённого умножения самостоятельно, а затем посмотреть решение

Куб разности

Формулой куба разности называется равенство

(куб разности двух чисел равен кубу первого числа минус утроенное произведение квадрата первого числа на второе, плюс утроенное произведение первого числа на квадрат второго минус куб второго числа).

С помощью формулы куба суммы многочлен можно разложить на множители, а именно, представить в виде произведения трёх одинаковых множителей .

Формула куба разности выводится так:

Пример 12. Записать в виде многочлена выражение

Решение. По формуле куба разности получаем

Применить формулу сокращённого умножения самостоятельно, а затем посмотреть решение

Разность квадратов

Формулой разности квадратов называется равенство

(разность квадратов двух чисел равна произведению суммы эти чисел на их разность).

С помощью формулы куба суммы любой многочлен вида можно разложить на множители.

Доказательство формулы получено с применением правила умножения многочленов:

Пример 14. Записать в виде многочлена произведение

Решение. По формуле разности квадратов получаем

Пример 15. Разложить на множители

Решение. Это выражение в явной форме ни под одно тождество не подходит. Но число 16 можно представить в виде степени с основанием 4: 16=4² . Тогда исходное выражение примет иной вид:

а это уже формула разности квадратов, и, применив эту формулу, получим